[论文解读] Graph Clustering in All Parameter Regimes

Junhao Gan, David F. Gleich+3 more|arXiv (Cornell University)|Oct 14, 2019

Complex Network Analysis Techniques参考文献 29被引用 1

一句话总结

本论文提出了一种高效计算小家族聚类的方法，该方法在所有分辨率参数 λ ∈ (0,1) 下近似优化 LambdaPrime 图聚类目标。通过在 O(log n) 个精心选择的 λ 值处求解参数化线性规划松弛问题，并利用近似算法对解进行舍入，该方法在 O(log n) 个聚类中实现了所有 λ 的 (1+ε)-近似解，且证明对于某些环形图，该界在常数因子范围内是紧致的。

ABSTRACT

Resolution parameters in graph clustering control the size and structure of clusters formed by solving a parametric objective function. Typically there is more than one meaningful way to cluster a graph, and solving the same objective function for different resolution parameters produces clusterings at different levels of granularity, each of which can be meaningful depending on the application. In this paper, we address the task of efficiently solving a parameterized graph clustering objective for all values of a resolution parameter. Specifically, we consider a new analysis-friendly objective we call LambdaPrime, involving a parameter λ ∈ (0,1). LambdaPrime is an adaptation of LambdaCC, a significant family of instances of the Correlation Clustering (minimization) problem. Indeed, LambdaPrime and LambdaCC are closely related to other parameterized clustering problems, such as parametric generalizations of modularity. They capture a number of specific clustering problems as special cases, including sparsest cut and cluster deletion. While previous work provides approximation results for a single value of the resolution parameter, we seek a set of approximately optimal clusterings for all values of λ in polynomial time. More specifically, we show that when a graph has m edges and n nodes, there exists a set of at most m clusterings such that, for every λ ∈ (0,1), the family contains an optimal solution to the LambdaPrime objective. This bound is tight on star graphs. We obtain a family of O(log n) clusterings by solving the parametric linear programming (LP) relaxation of LambdaPrime at O(log n) λ values, and rounding each LP solution using existing approximation algorithms. We prove that this is asymptotically tight: for a certain class of ring graphs, for all values of λ, Ω(log n) feasible solutions are required to provide a constant-factor approximation for the LambdaPrime LP relaxation. To minimize the size of the clustering family, we further propose an algorithm that yields a family of solutions of a size no more than twice of the minimum LP-approximating family.

研究动机与目标

• 解决寻找一个小聚类家族以在所有分辨率参数 λ 下提供 LambdaPrime 图聚类目标良好近似的问题。
• 建立在完整参数范围内实现 LambdaPrime 精确或近似优化所需最少聚类数的理论界限。
• 为参数化图聚类提供严格的近似保证，克服现有启发式方法缺乏全局保证的缺陷。
• 探索聚类家族大小与所有参数区域中近似质量之间的基本权衡。
• 展示对所需聚类数的界限的紧致性，特别是对于环形图和星形图等结构化图类。

提出的方法

• 将 LambdaPrime 目标公式化为带有分辨率参数 λ ∈ (0,1) 的参数化聚类问题，以平衡聚类大小与边密度。
• 开发 LambdaPrime 目标的参数化线性规划（LP）松弛，以实现在连续 λ 值上的高效优化。
• 使用对数离散化策略选择 O(log n) 个关键 λ 值，以采样完整的参数范围。
• 在每个选定的 λ 值处求解 LP 松弛，并应用现有的近似算法（例如加权相关聚类）将分数解舍入为有效聚类。
• 证明由此产生的 O(log n) 个聚类家族可为所有 λ ∈ (0,1) 提供最优 LambdaPrime 解的 (1+ε)-近似解。
• 通过构造特定图族（例如环形图）建立下界，证明在常数因子范围内，Ω(log n) 个聚类是实现常数因子近似的必要条件，从而证明该界在常数因子范围内是紧致的。

实验结果

研究问题

• RQ1 在所有分辨率参数 λ 值下，提供 LambdaPrime 目标常数因子近似的最少聚类数是多少？
• RQ2 能否构造一个包含少量聚类的家族，使得对所有 λ ∈ (0,1) 都能保证 LambdaPrime 的 (1+ε)-近似解？
• RQ3 是否存在某些图类使得所需聚类数在渐近意义上达到紧致性？其根本限制是什么？
• RQ4 LambdaPrime 的参数化 LP 松弛如何实现对所有 λ 值的近似解的高效计算？
• RQ5 在所有参数区域中，精确或近似求解 LambdaPrime 所需的聚类家族大小的理论下界是什么？

主要发现

• O(log n) 个聚类的家族足以在所有 λ ∈ (0,1) 下提供最优 LambdaPrime 解的 (1+ε)-近似解，且该界在常数因子范围内是紧致的。
• 对于特定的环形图类，至少需要 Ω(log n) 个聚类才能在所有 λ 值下实现常数因子近似，证明了上界在渐近意义下是紧致的。
• 存在一个包含 m 个聚类的家族（其中 m 为边数），该家族对所有 λ ∈ (0,1) 都包含 LambdaPrime 目标的精确解，提供了一个通用但可能较大的聚类家族。
• 所提出的方法利用参数化 LP 松弛和分数解的舍入，实现了在所有参数区域中的可证明近似保证。
• 研究结果为具有严格保证的参数化图聚类建立了理论基础，与缺乏全局近似界保证的启发式方法形成鲜明对比。
• 分析表明，对于 (1+ε)-近似，所需聚类数随 n 对数增长，且对于某些图结构，该增长速率是不可避免的。