[论文解读] Graph connectivity in log steps using label propagation

Burkhardt, Paul|arXiv (Cornell University)|Aug 20, 2018

Digital Image Processing Techniques被引用 9

一句话总结

本文提出了一种简单、确定性的标签传播算法，用于无向图连通性问题，在PRAM、Stream和MapReduce模型中均实现了O(log n)步的对数收敛速度，通过交替进行有向边传播与最小标签归约实现。该方法在每一步中保持线性工作量，且不增加边的数量。尽管在各类图上经验观察到收敛时间为O(log n)，但其形式化证明仍是开放问题。

ABSTRACT

The fastest deterministic algorithms for connected components take logarithmic time and perform superlinear work on a Parallel Random Access Machine (PRAM). These algorithms maintain a spanning forest by merging and compressing trees, which requires pointer-chasing operations that increase memory access latency and are limited to shared-memory systems. Many of these PRAM algorithms are also very complicated to implement. Another popular method is "leader-contraction" where the challenge is to select a constant fraction of leaders that are adjacent to a constant fraction of non-leaders with high probability. Instead we investigate label propagation because it is deterministic and does not rely on pointer-chasing. Label propagation exchanges representative labels within a component using simple graph traversal, but it is inherently difficult to complete in a sublinear number of steps. We are able to solve the problems with label propagation for graph connectivity. We introduce a surprisingly simple framework for deterministic graph connectivity using label propagation that is easily adaptable to many computational models. It propagates directed edges and alternates edge direction to achieve linear edge count each step and sublinear convergence. We present new algorithms in PRAM, Stream, and MapReduce for a simple, undirected graph $G=(V,E)$ with $n=|V|$ vertices, $m=|E|$ edges. Our approach takes $O(m)$ work each step, but we can only prove logarithmic convergence on a path graph. It was conjectured by Liu and Tarjan (2019) to take $O(\log n)$ steps or possibly $O(\log^2 n)$ steps. We leave the proof of convergence as an open problem.

研究动机与目标

• 开发一种确定性、易于实现的图连通性算法，避免指针追逐和复杂的边管理。
• 在多种计算模型中独立于处理器数量，实现对数收敛时间。
• 在每一步中保持O(m)的工作量，且不增加图中的边数。
• 提供一种可适配PRAM、Stream和MapReduce模型的框架，实现最小的实现复杂度。
• 在路径图、网格图及真实世界网络等复杂图族上，经验验证其快速收敛性能。

提出的方法

• 通过交替方向的有向边进行标签传播，以实现双向最小标签交换。
• 对于每条边(v, u)，若u的当前最小标签l(u)不等于v的标签，则算法将l(v)传播至u；否则应用对称化处理。
• 在每一步中对顶点标签执行最小值归约，确保标签向每个连通分量中最小顶点ID方向传播。
• 使用原子比较并交换操作并行更新边列表，以确保正确性且无需同步。
• 通过计数器追踪标签变化；当无进一步标签更新发生时，算法终止，表明已收敛至以连通分量根为最小标签的星型图结构。
• 通过在每一步中用新边替换每条边，保持边数稳定，从而在每次迭代中维持O(m)的工作量。

实验结果

研究问题

• RQ1 标签传播能否在不增加边数的前提下，实现图连通性的次线性收敛？
• RQ2 是否可以设计一种确定性、简单且可扩展的连通分量算法，避免指针追逐和复杂的同步机制？
• RQ3 交替传播与最小归约策略是否能在一般图上实现O(log n)的收敛速度？
• RQ4 该算法在高直径路径图和含桥接节点的网格图等困难图族上的表现如何？
• RQ5 该算法能否高效适配PRAM、Stream和MapReduce等多种计算模型？

主要发现

• 在路径图上，该算法收敛于O(log n)步，与logφ n的预测一致，其中φ ≈ 1.618，且额外多一步用于完成测试。
• 在大规模路径图（如seqpath26，含6700万顶点）上，收敛发生在40步，与理论预测高度一致。
• 在含桥接节点的网格图（如grid-0to16777216by24）上，收敛时间与直径D呈线性关系，D=48时耗时26步。
• 在真实世界网络如com-Friendster和com-Orkut上，分别在9步和6步内完成收敛，尽管图规模大且直径小。
• 在所有测试的真实世界图上，该算法均实现O(log n)收敛，展现出实际可扩展性，并且不依赖处理器数量。
• 尽管运行时性能尚未达到最先进水平，但凭借其简单性与快速收敛，具有显著的优化潜力。