[论文解读] Graph Fourier Transform based on Directed Laplacian

Rahul Singh, Abhishek Chakraborty+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 13, 2016

Advanced Graph Neural Networks参考文献 24被引用 5

一句话总结

本文在图上离散信号处理（DSP G）框架内，通过使用有向拉普拉斯矩阵的若尔当代数特征向量和特征值分别作为图正弦基和频率，重新定义了图傅里叶变换（GFT）。该工作提出一种基于有向拉普拉斯矩阵的移位算子，通过总变差实现自然的频率排序，并确保线性移位不变（LSI）滤波器在有向拉普拉斯矩阵下为多项式形式，从而在统一DSP G与传统基于拉普拉斯矩阵的GFT的同时，提升了可解释性。

ABSTRACT

In this paper, we redefine the Graph Fourier Transform (GFT) under the DSP$_\mathrm{G}$ framework. We consider the Jordan eigenvectors of the directed Laplacian as graph harmonics and the corresponding eigenvalues as the graph frequencies. For this purpose, we propose a shift operator based on the directed Laplacian of a graph. Based on our shift operator, we then define total variation of graph signals, which is used in frequency ordering. We achieve natural frequency ordering and interpretation via the proposed definition of GFT. Moreover, we show that our proposed shift operator makes the LSI filters under DSP$_\mathrm{G}$ to become polynomial in the directed Laplacian.

研究动机与目标

• 为解决现有DSP G框架在处理具有复数或负权重的有向图时缺乏直观频率解释的问题。
• 通过使用有向拉普拉斯矩阵重新定义图傅里叶变换（GFT），在图信号处理中建立自然的频率排序。
• 通过将频率解释与物理直觉对齐，弥合DSP G框架与经典基于拉普拉斯矩阵的GFT之间的差距。
• 确保DSP G框架中的线性移位不变（LSI）滤波器在有向拉普拉斯矩阵下保持多项式形式，以维持数学一致性。

提出的方法

• 提出一种源自有向拉普拉斯矩阵的移位算子，替代DSP G中通常使用的权重矩阵。
• 基于所提出的移位算子定义图信号的总变差，以实现频率排序。
• 将有向拉普拉斯矩阵的若尔当代数特征向量用作图傅里叶基，对应的特征值用作图频率。
• 在DSP G框架下，利用新移位算子与频率排序机制重构GFT。
• 证明在所提框架下，LSI图滤波器在有向拉普拉斯矩阵下成为多项式形式。
• 通过验证常数信号在频域中仅具有零频率分量，验证了自然频率解释的合理性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有复数或负边权的有向图中，是否可在DSP G框架内实现自然的频率排序？
• RQ2 如何重新定义DSP G中的移位算子，以实现直观的频率解释，并与基于拉普拉斯矩阵的GFT建立联系？
• RQ3 通过有向拉普拉斯矩阵重新定义GFT后，是否能确保LSI滤波器在拉普拉斯矩阵下仍保持多项式形式？
• RQ4 在新GFT定义下，零频率分量是否正确地被识别为对应于常数图信号？

主要发现

• 使用有向拉普拉斯矩阵的若尔当代数特征向量作为图正弦基所提出的GFT，实现了自然的频率排序，其中较小的特征值对应于低频。
• 通过新移位算子定义的总变差实现了稳定且直观的频率排序，且对共轭复特征值具有相同的变差。
• 特征值λ = 7.646对应图中最高频率，该结论由测试信号的幅度谱确认。
• 常数图信号f = [1 1 1 1 1]^T在频域中仅产生一个非零系数（位于零频率），确认了零频率分量的正确识别。
• 新框架下的LSI滤波器在有向拉普拉斯矩阵下为多项式形式，满足移位不变性所必需的交换性条件。
• 对应于零特征值的若尔当代数特征向量为均匀向量1/√N [1 1 ... 1]^T，证实了零频率的解释正确性。