[论文解读] Graph isomorphism and volumes of convex bodies

Shmuel Friedland|ArXiv.org|Nov 9, 2009

Point processes and geometric inequalities参考文献 15被引用 3

一句话总结

本文建立了一种图同构问题与特定凸多面体在原点为中心、半径递增的球体相交后体积相等之间的新颖等价关系。通过利用已知的凸体积计算的全随机多项式时间近似方案（fpras），作者推导出一种时间复杂度为 O*(n¹⁴) 的半 fpras，用于测试两幅图之间的同构性，为解决图同构问题长期存在的计算复杂性问题提供了潜在路径。

ABSTRACT

We show that a nontrivial graph isomorphism problem of two undirected graphs, and more generally, the permutation similarity of two given $n imes n$ matrices, is equivalent to equalities of volumes of the induced three convex bounded polytopes intersected with a given sequence of balls, centered at the origin with radii $t_i\in (0,\sqrt{n-1})$, where $\{t_i\}$ is an increasing sequence converging to $\sqrt{n-1}$. These polytopes are characterized by $n^2$ inequalities in at most $n^2$ variables. The existence of fpras for computing volumes of convex bodies gives rise to a semi-frpas of order $O^*(n^{14})$ at most to find if given two undirected graphs are isomorphic.

研究动机与目标

• 建立图同构问题在凸多面体几何体积相等性方面的全新表征。
• 将图同构问题约化为一系列有界凸集体积比较问题。
• 利用现有的凸体积计算 fpras，设计用于图同构测试的半 fpras。
• 通过一致代数与双随机约束，提供矩阵置换相似性的几何框架。
• 为图同构问题提供一种潜在的多项式时间解法，该问题仍属于 NP 类，但尚未被证明为 NP 完全或在 P 中。

提出的方法

• 定义三个凸多面体 P(A,A)、P(A,B) 和 P(B,B)，作为线性矩阵方程 SX - XT = 0 在非负约束 X ≥ -Jₙ 下的解集。
• 利用这些多面体的弗罗贝尼乌斯范数半径来表征同构性：当且仅当 ||P(A,B)||_F = √(n-1) 时，图 G 与 H 同构。
• 从解空间 P₀(A,A)、P₀(A,B)、P₀(B,B) 构造正交投影 T₁、T₂、T₃ 到 ℝ^Δ，保持内积关系，并将多面体映射为 Δ 维空间中的新有界多面体 X₁、X₂、X₃。
• 将投影后的多面体 Xᵢ 表示为由不等式 u_{(i,j),l}ᵀx ≥ -1/n 定义的半空间交集，其中向量 u 可在多项式时间内计算。
• 在一系列嵌套球体 B(0, tⱼ) 上应用随机体积估计算法，其中半径 tⱼ = 2^{j/N}/n，覆盖区间 (1/n, √(n−1))。
• 对每个 j，测试 i=1,2,3 时体积比 vol(Xⱼ,ᵢ)/vol(Xⱼ₋₁,ᵢ) 的相等性；若在相对误差 ε 内相等，则以高概率判定为同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 图同构问题能否被约化为一系列凸多面体体积比较？
• RQ2 是否存在一种基于凸多面体及其与球体相交的几何表征，用于描述两矩阵的置换相似性？
• RQ3 能否利用凸体积计算的全随机多项式时间近似方案（fpras）来设计图同构的半 fpras？
• RQ4 通过投影多面体的体积相等性测试同构性的计算复杂度是多少？
• RQ5 当多面体 P(A,A)、P(A,B)、P(B,B) 与半径递增的球体相交时，其体积相等是否意味着图同构？

主要发现

• 图同构问题等价于多面体 P(A,A)、P(A,B)、P(B,B) 与半径 t ∈ (0, √(n−1)) 的球体相交后体积相等，其中 t 沿递增序列趋近于 √(n−1)。
• 当且仅当解空间 P₀(A,A)、P₀(A,B)、P₀(B,B) 的维数相等时，同构关系才成立，此为必要条件。
• 已知凸体体积计算的 fpras 存在，因此可构造出时间复杂度为 O*(n¹⁴) 的半 fpras 用于图同构测试。
• 为以高概率确认同构，所有 j 必须满足体积比 vol(Xⱼ,₁)/vol(Xⱼ₋₁,₁)、vol(Xⱼ,₂)/vol(Xⱼ₋₁,₂) 和 vol(Xⱼ,₃)/vol(Xⱼ₋₁,₃) 在相对误差 ε 内相等。
• 该算法的时间复杂度为 O*(n¹⁴)，其中 O* 符号吸收了 log n 和 Δ 的多项式因子，Δ ≤ (n−1)² 为解空间的维数。
• 该方法依赖于通过正交变换将解空间投影到 Δ 维空间，从而可利用已知的随机化算法实现高效的体积估计。