[论文解读] Graph Isomorphism for Bounded Genus Graphs In Linear Time

Ken‐ichi Kawarabayashi|arXiv (Cornell University)|Nov 8, 2015

Advanced Graph Theory Research参考文献 40被引用 7

一句话总结

该论文提出了首个针对有界欧拉亏格图的图同构问题的线性时间算法，解决了长期存在的开放性问题。通过利用多面体嵌入、面宽约束以及基于顶点二割的规范分解，该算法将同构性测试简化为平面图或多面体子图上的地图同构问题，对固定的亏格g实现了O(n)的时间复杂度。

ABSTRACT

For every integer $g$, isomorphism of graphs of Euler genus at most $g$ can be decided in linear time. This improves previously known algorithms whose time complexity is $n^{O(g)}$ (shown in early 1980's), and in fact, this is the first fixed-parameter tractable algorithm for the graph isomorphism problem for bounded genus graphs in terms of the Euler genus $g$. Our result also generalizes the seminal result of Hopcroft and Wong in 1974, which says that the graph isomorphism problem can be decided in linear time for planar graphs. Our proof is quite lengthly and complicated, but if we are satisfied with an $O(n^3)$ time algorithm for the same problem, the proof is shorter and easier.

研究动机与目标

• 开发一种针对欧拉亏格至多为g的图的固定参数可追踪线性时间图同构算法。
• 克服高亏格曲面上嵌入数量呈指数级增长的问题，此前该问题使算法时间复杂度受限于n^{O(g)}。
• 将霍普克罗夫特与王1974年提出的线性时间平面图同构算法推广至更高亏格的曲面。
• 证明：3-连通图若面宽≥3，则在亏格为g的曲面上最多仅有f(g)种不同的多面体嵌入，从而实现高效的同构性检查。
• 通过顶点二割实现图的规范分解，将同构性问题简化为平面地图同构问题。

提出的方法

• 通过利用有界亏格曲面上图的唯一嵌入特性，将图同构问题简化为地图同构问题。
• 使用面宽≥3的嵌入以确保多面体结构，即面仅在顶点或边上相交。
• 在顶点二割处应用规范的顶点分裂操作，将图分解为平面图或多面体子图。
• 采用递归分解策略，确保每一步骤均保持规范表示。
• 利用定理2.1，在将子图简化为带颜色顶点的图后，以O(n)时间测试地图同构。
• 在O(n)时间内，从规范子图的同构性重构原始图的同构性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在克服先前n^{O(g)}时间复杂度障碍的前提下，以线性时间解决有界亏格图的图同构问题？
• RQ2 如何控制高亏格曲面上嵌入数量的指数增长，以实现高效的同构性测试？
• RQ3 是否存在一种规范方式，将有界亏格曲面上的3-连通图分解为便于同构性测试的可管理子图？
• RQ4 能否利用面宽≥3嵌入的结构特性，确保每种亏格下仅有有限多个不同的嵌入，从而实现算法可解性？
• RQ5 将问题约化为平面图或多面体子图上的地图同构，是否能实现有界亏格图的线性时间同构性测试？

主要发现

• 对于欧拉亏格至多为g的图，其图同构问题可在O(n)时间内求解，对任意固定的g成立。
• 对每个亏格g，存在一个函数f(g)，使得任意3-连通图若面宽≥3，则在亏格为g的曲面上最多仅有f(g)种不同的多面体嵌入。
• 该算法通过在顶点二割处进行规范的顶点分裂操作，将图分解为平面图或多面体子图，同时保持同构不变量。
• 对带颜色顶点的子图，其地图同构性可在O(n)时间内测试，从而实现全局同构性的高效重构。
• 递归分解与规范表示机制使得在完成子图同构性检查后，可在O(n)时间内确定全局同构性。
• 该结果将霍普克罗夫特与王1974年提出的线性时间平面图同构算法推广至所有有界欧拉亏格的曲面。