[论文解读] Graph Isomorphism in Quasipolynomial Time

László Babai|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2015

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 49被引用 281

一句话总结

本文提出了一种图同构（GI）问题的准多项式时间算法，其时间复杂度为 $\exp((\log n)^{O(1)})$，相较于卢克斯（Luks）于1983年建立的先前最优界 $\exp(O(\sqrt{n\log n}))$ 实现了显著改进。该方法结合了群论技术——特别是利用“局部证书”检测对称性缺陷——与组合性规范划分，识别出约翰逊图（Johnson graphs）是阻碍高效同构测试的唯一障碍。

ABSTRACT

We show that the Graph Isomorphism (GI) problem and the related problems of String Isomorphism (under group action) (SI) and Coset Intersection (CI) can be solved in quasipolynomial ($\exp((\log n)^{O(1)})$) time. The best previous bound for GI was $\exp(O(\sqrt{n\log n}))$, where $n$ is the number of vertices (Luks, 1983); for the other two problems, the bound was similar, $\exp( ilde{O}(\sqrt{n}))$, where $n$ is the size of the permutation domain (Babai, 1983). The algorithm builds on Luks's SI framework and attacks the barrier configurations for Luks's algorithm by group theoretic "local certificates" and combinatorial canonical partitioning techniques. We show that in a well-defined sense, Johnson graphs are the only obstructions to effective canonical partitioning. Luks's barrier situation is characterized by a homomorphism ϕ that maps a given permutation group $G$ onto $S_k$ or $A_k$, the symmetric or alternating group of degree $k$, where $k$ is not too small. We say that an element $x$ in the permutation domain on which $G$ acts is affected by ϕ if the ϕ-image of the stabilizer of $x$ does not contain $A_k$. The affected/unaffected dichotomy underlies the core "local certificates" routine and is the central divide-and-conquer tool of the algorithm.

研究动机与目标

• 为图同构问题的最佳已知上界与其真实复杂度之间的长期差距画上句号。
• 解决同构测试中的核心挑战：处理具有大交错群或对称群商的置换群，这些群会阻碍高效的规范划分。
• 确立约翰逊图是唯一阻碍同构算法中有效对称性约简的本原群。
• 将卢克斯框架中的群论与组合技术统一并扩展为一种连贯且可扩展的算法结构。
• 通过严格的复杂度分析，为GI、SI和CI问题提供独立于启发式性能的最坏情况时间上界。

提出的方法

• 引入‘局部证书’以检测在同态 $\varphi$ 映射置换群 $G$ 到 $S_k$ 或 $A_k$ 时受影响的元素，从而区分其稳定子不包含 $A_k$ 的元素。
• 采用基于受影响/未受影响二分法的分治策略，递归地细化群作用并检测规范结构。
• 应用‘设计引理’将 $k$ 元关系简化为二元关系，从而高效处理一致配置中的高元结构。
• 将Weisfeiler-Leman算法作为子程序，通过规范细化来检测由局部不对称性引发的全局异常。
• 采用‘分治-约翰逊’框架：若某结构难以划分，则必定包含一个大而规范嵌入的约翰逊图。
• 利用‘未受影响稳定子定理’控制具有大交错群商的本原群中稳定子的结构，确保递归深度有界。

实验结果

研究问题

• RQ1 图同构问题是否可在准多项式时间内求解？若可，必须利用置换群的何种结构性质？
• RQ2 约翰逊图在阻碍高效同构测试中扮演何种角色？能否系统性地检测并处理它们？
• RQ3 如何聚合局部对称性缺陷（通过‘局部证书’）以生成全局规范结构，同时确保准多项式时间复杂度？
• RQ4 置换群中交错群商在多大程度上构成高效同构测试的主要障碍？
• RQ5 是否可对具有大阶的本原群的群论结构进行表征，从而实现高效的同构求解？

主要发现

• 图同构问题可在准多项式时间内求解，具体为 $\exp((\log n)^{O(1)})$，其中 $n$ 为顶点数。
• 在群作用下的字符串同构问题与陪集交问题也可在准多项式时间内求解，达到新的时间界。
• 约翰逊图被确定为唯一阻碍有效规范划分的本原群，因此是高效同构测试的唯一障碍。
• 该算法通过递归应用局部证书检测对称性缺陷，并利用‘分治-约翰逊’框架实现划分或识别约翰逊结构，从而实现高效性。
• 通过用 $\exp((\log n)^{O(1)})$ 的准多项式界替代卢克斯（1983）的 $\exp(O(\sqrt{n\log n}))$ 界，实现了时间复杂度的显著提升，填补了三十余年来的时间复杂度鸿沟。
• 该方法依赖于一个新颖的群论引理——‘未受影响稳定子定理’，为具有大交错群商的本原群中稳定子的结构提供了结构控制。