[论文解读] Graph isomorphism is polynomial

Shmuel Friedland|arXiv (Cornell University)|Jan 2, 2008

Graph Theory and Algorithms被引用 1

一句话总结

本论文通过将图同构问题约化为在 n⁴ 个非负变量上的 (4n − 1)n² 个方程组的可解性，提出了一种多项式时间算法。关键贡献在于证明了两个图同构当且仅当该方程组存在非负解，从而确立了图同构问题可在多项式时间内求解。

ABSTRACT

We show that the graph isomorphism problem is determined in a polynomial time. This is done by showing that that two graphs on n vertices are isomorphic if and only if a corresponding system of (4n − 1)n 2 equations in n 4 nonnegative variables is solvable.

研究动机与目标

• 解决图同构问题是否可在多项式时间内求解这一长期悬而未决的开放问题。
• 利用多项式方程组提出图同构问题的新型代数刻画。
• 证明两个图之间的同构性等价于特定方程组在非负变量下的可解性。
• 为图同构问题提供一种构造性且多项式时间的判定过程。

提出的方法

• 基于两个 n 个顶点图的邻接矩阵，构建一个包含 (4n − 1)n² 个方程和 n⁴ 个非负变量的方程组。
• 方程编码了将一个图的邻接结构映射到另一个图的置换矩阵存在的约束。
• 该方程组的设计使得当且仅当两个图同构时，存在非负解。
• 利用实数域上的代数技术，多项式时间内判定该方程组的可解性。
• 该方法利用变量的非负性，强制保证置换映射的组合一致性。
• 约化过程确保方程组的规模关于 n 为多项式，从而实现多项式时间可解。

实验结果

研究问题

• RQ1 图同构问题能否约化为一个规模多项式、包含非负变量的方程组的可解性问题？
• RQ2 是否存在一种图同构的刻画方式，使得能够构造出多项式时间的判定过程？
• RQ3 特定方程组存在非负解是否精确捕捉了图同构的本质？
• RQ4 能否利用实数域上的代数方法在多项式时间内求解图同构问题？

主要发现

• 通过检测在 n⁴ 个非负变量上包含 (4n − 1)n² 个方程的方程组的可解性，图同构问题可在多项式时间内求解。
• 对于 n 个顶点的两个图，当且仅当其对应的方程组存在非负解时，二者同构。
• 该方程组的规模关于 n 为多项式，确保了整个算法在多项式时间内运行。
• 该方法使用非负变量对图同构提供了完整的代数刻画。
• 该结果确立了图同构问题属于 P 类，解决了理论计算机科学中的一个重大开放问题。