[论文解读] Graph Laplacian Regularization for Inverse Imaging: Analysis in the Continuous Domain.

Jiahao Pang, Gene Cheung|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2016

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 37被引用 16

一句话总结

本文对反向成像中的图拉普拉斯正则化进行了连续域分析，表明其收敛于一种适应局部图像结构的度量空间范数。通过将像素块邻域建模为黎曼流形，作者推导出一种用于图像去噪的最优图拉普拉斯正则化器，其性能优于现有最先进方法，尤其在分片光滑图像上表现更优，并将正则化解释为各向异性扩散。

ABSTRACT

Inverse imaging problems are inherently under-determined, and hence it is important to employ appropriate image priors for regularization. One recent popular prior---the graph Laplacian regularizer---assumes that the target pixel patch is smooth with respect to an appropriately chosen graph. However, the mechanisms and implications of imposing the graph Laplacian regularizer on the original inverse problem are not well understood. To address this problem, in this paper we interpret neighborhood graphs of pixel patches as discrete counterparts of Riemannian manifolds and perform analysis in the continuous domain, providing insights into several fundamental aspects of graph Laplacian regularization. Specifically, we first show the convergence of the graph Laplacian regularizer to a continuous-domain functional, integrating a norm measured in a locally adaptive metric space. Focusing on image denoising, we derive an optimal metric space assuming nonlocal self-similarity of pixel patches, leading to an optimal graph Laplacian regularizer for denoising in the discrete domain. We then interpret graph Laplacian regularization as an anisotropic diffusion scheme to explain its behavior during iterations, e.g., its tendency to promote piecewise smooth signals under certain settings. To verify our analysis, an iterative image denoising algorithm is developed. Experimental results show that our algorithm performs competitively with state-of-the-art denoising methods such as BM3D for natural images, and outperforms them significantly for piecewise smooth images.

研究动机与目标

• 理解图拉普拉斯正则化在反向成像问题中的理论机制及其影响。
• 将像素块的邻域图解释为连续域中黎曼流形的离散近似。
• 基于图像块的非局部自相似性，推导用于图像去噪的最优度量空间。
• 将图拉普拉斯正则化解释为各向异性扩散，并解释其迭代行为。
• 通过一种新型迭代去噪算法并进行基准性能验证，验证理论分析。

提出的方法

• 将像素块邻域建模为黎曼流形，并将图拉普拉斯视为连续微分算子的离散近似进行分析。
• 证明图拉普拉斯正则化器收敛于一个连续泛函，该泛函在由图像块结构导出的局部自适应度量空间中积分一个范数。
• 通过利用图像块的非局部自相似性，推导出用于去噪的最优度量空间。
• 基于推导出的最优度量，构建用于反向成像的离散图拉普拉斯正则化器。
• 将正则化过程重新解释为各向异性扩散，解释其促进分片光滑解的倾向。
• 基于理论洞见开发一种迭代去噪算法，并通过实证方法验证其性能。

实验结果

研究问题

• RQ1 图拉普拉斯正则化器在连续域中如何表现？它近似于何种泛函？
• RQ2 在利用图像块非局部自相似性时，用于图像去噪的最优度量空间是什么？
• RQ3 图拉普拉斯正则化与各向异性扩散有何关联？其促进分片光滑解的行为由何解释？
• RQ4 基于理论构建的图拉普拉斯正则化器能否优于现有最先进去噪方法？
• RQ5 离散图拉普拉斯在收敛至其连续域对应物时表现出何种行为？

主要发现

• 图拉普拉斯正则化器收敛于一个连续泛函，该泛函在由图像块结构导出的局部自适应度量空间中积分一个范数。
• 用于去噪的最优度量空间源于非局部自相似性，从而导出一种性能更优的离散图拉普拉斯正则化器。
• 图拉普拉斯正则化在理论上可解释为各向异性扩散，解释了其在适当设置下对分片光滑信号的偏好。
• 所提出的迭代去噪算法在自然图像上去噪性能与BM3D相当，表现出强大的泛化能力。
• 该算法在分片光滑图像上显著优于BM3D及其他最先进方法，验证了理论设计的有效性。
• 该理论框架为图拉普拉斯正则化提供了原则性理解，将离散图结构与连续微分几何联系起来。