[论文解读] Graph Laplacians, Riemannian Manifolds and their Machine-Learning

Yang‐Hui He, Shing‐Tung Yau|arXiv (Cornell University)|Jun 30, 2020

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 62被引用 11

一句话总结

本文利用图拉普拉斯算子与机器学习，研究有限图的几何与拓扑性质，表明神经网络能够准确分类里奇平坦性、预测谱间隙，并在约8,000张图的沃尔夫曼数据库中检测哈密顿回路。主要贡献在于成功将监督式与非监督式机器学习应用于黎曼几何的离散类比，揭示了对深层谱与拓扑不变量的强大预测能力。

ABSTRACT

Graph Laplacians as well as related spectral inequalities and (co-)homology provide a foray into discrete analogues of Riemannian manifolds, providing a rich interplay between combinatorics, geometry and theoretical physics. We apply some of the latest techniques in data science such as supervised and unsupervised machine-learning and topological data analysis to the Wolfram database of some 8000 finite graphs in light of studying these correspondences. Encouragingly, we find that neural classifiers, regressors and networks can perform, with high efficiently and accuracy, a multitude of tasks ranging from recognizing graph Ricci-flatness, to predicting the spectral gap, to detecting the presence of Hamiltonian cycles, etc.

研究动机与目标

• 利用图拉普拉斯算子与谱论探索黎曼几何的离散类比。
• 研究机器学习是否能检测有限图中的深层几何与拓扑不变量。
• 测试神经网络在分类里奇平坦性、预测谱间隙与检测哈密顿回路方面的有效性。
• 将拓扑数据分析与降维方法应用于图谱与不变量。
• 建立离散几何、谱图论与现代数据科学技术之间的桥梁。

提出的方法

• 以沃尔夫曼数据库中约8,000张有限、无向、简单图作为主要数据集。
• 应用监督式与非监督式机器学习，预测图的性质，如谱间隙、里奇平坦性与哈密顿回路的存在性。
• 使用神经分类器、回归器与自编码器，从拉普拉斯算子谱中建模图不变量。
• 对特征值分布应用拓扑数据分析（TDA）、主成分分析（PCA）与谱聚类。
• 通过路径复形上的暴力线性代数计算图的同调与上同调，定义∂-不变子空间。
• 从同调维数导出贝蒂数，定义并计算欧拉示性数。

实验结果

研究问题

• RQ1 机器学习能否利用离散曲率概念，高精度地分类图是否为里奇平坦？
• RQ2 神经网络在多大程度上能从图结构预测归一化拉普拉斯算子的谱间隙？
• RQ3 机器学习能否以高精度检测图中哈密顿回路的存在？
• RQ4 拓扑数据分析与降维方法在多大程度上能捕捉图谱的内在几何？
• RQ5 有限图中离散同调与经典拓扑不变量（如欧拉示性数）之间存在何种关系？

主要发现

• 神经网络利用图拉普拉斯算子谱，对OLLY-里奇平坦与CD-里奇平坦图的分类达到高精度。
• 监督式学习模型成功以高效率与高精度预测归一化拉普拉斯算子的谱间隙。
• 双金字塔图G_dp(5)的归一化拉普拉斯算子特征值为{3/2, 5/4, 5/4, 1, 0}，确认其谱性质。
• 图G_dp(5)是平面图，亏格为0，色数为4，直径为2，围长为3，且恰好包含6个哈密顿回路。
• G_dp(5)的同调计算结果为dim Ω₀ = 5，dim Ω₁ = 9，dim Ω₂ = 6，dim Ω₃ = 2，且dim Ωₙ≥₄ = 0，由此得出欧拉示性数χ = 0。
• A₂中∂-不变子空间的线性系统包含6个自由系数，确认dim Ω₂ = 6，完整同调计算进一步证实了欧拉示性数的拓扑不变性。