[论文解读] Graph polynomials and their applications I: The Tutte polynomial

Joanna A. Ellis-Monaghan, Criel Merino|ArXiv.org|Mar 20, 2008

Graph theory and applications参考文献 81被引用 23

一句话总结

本文对图的塔特多项式（Tutte polynomial）进行了全面综述，该多项式是统一众多图不变量的双变量图多项式，通过删除-收缩约化实现。它通过“配方定理”确立了该多项式的普遍性，展示了其在着色、流、网络可靠性及物理模型中的应用，并概述了有界树宽图的计算复杂性和算法方法。

ABSTRACT

In this survey of graph polynomials, we emphasize the Tutte polynomial and a selection of closely related graph polynomials. We explore some of the Tutte polynomial's many properties and applications and we use the Tutte polynomial to showcase a variety of principles and techniques for graph polynomials in general. These include several ways in which a graph polynomial may be defined and methods for extracting combinatorial information and algebraic properties from a graph polynomial. We also use the Tutte polynomial to demonstrate how graph polynomials may be both specialized and generalized, and how they can encode information relevant to physical applications. We conclude with a brief discussion of computational complexity considerations.

研究动机与目标

• 通过删除-收缩操作，将塔特多项式确立为乘法图不变量的普遍不变量。
• 展示塔特多项式如何编码图的各类组合与物理性质。
• 提供一种方法论框架，利用递归、生成函数和特化技术分析图多项式。
• 强调该多项式作为研究其他图多项式之相互关系的中心参考点的作用。
• 解决计算复杂性问题，并识别可解情况，特别是有界树宽或团宽图类。

提出的方法

• 通过图的边删除和收缩操作，递归定义塔特多项式。
• 基于生成函数方法，基于生成子图及其秩与亏格，构建塔特多项式。
• 应用“配方定理”证明塔特多项式对任意具有删除-收缩约化的乘法图不变量的普遍性。
• 将塔特多项式特化，以恢复已知不变量：色多项式（顶点着色）、流多项式（边流）、可靠性多项式（网络可靠性）。
• 分析塔特多项式的系数、零点与导数，以提取结构与组合信息。
• 使用动态规划等计算技术，在树分解上高效计算有界树宽图的多项式。

实验结果

研究问题

• RQ1 塔特多项式如何通过删除-收缩操作统一各类图不变量？
• RQ2 塔特多项式的特定取值产生哪些组合与物理解释？
• RQ3 塔特多项式可通过何种方式推广或特化以模拟不同的图论现象？
• RQ4 计算塔特多项式的计算复杂性如何？在哪些图类中是可解的？
• RQ5 塔特多项式的系数、零点与导数如何反映图的底层结构？

主要发现

• 塔特多项式具有普遍性：任何具有删除-收缩约化的乘法图不变量，都是其取值。
• 塔特多项式的取值可恢复经典不变量：色多项式（当 T(1−x,0) = x^k P(G,x) 时）、流多项式（T(0,1−y)）、可靠性多项式。
• 对于有界树宽图，可通过树分解上的动态规划在线性时间内计算塔特多项式。
• 塔特多项式的系数按秩与亏格计数子图，其零点可提供图连通性及物理模型中相变的信息。
• 多项式在特定点的导数可给出如生成树数量与β-不变量等不变量。
• 已有计算机代数系统及基于网络的工具（如 http://homepages.mcs.vuw.ac.nz/~djp/tutte/）实现，适用于小图（约100条边以内）。