[论文解读] Graph Pricing Problem on Bounded Treewidth, Bounded Genus and k-partite graphs

Parinya Chalermsook, Shiva Kintali+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2012

Advanced Graph Theory Research参考文献 14被引用 3

一句话总结

本文针对有界树宽、有界亏格和k-分图上的图定价问题（GVP）提出了一种全多项式时间近似方案（FPTAS），并将其扩展至有界亏格和k-分图。该方法基于树分解上的动态规划，并应用Sherali-Adams层级以减小整数规划的整数性间隙，从而在有界树宽和亏格图上实现(1+ε)-近似，同时对最大度为四的图提供2-近似解。

ABSTRACT

Consider the following problem. A seller has infinite copies of $n$ products represented by nodes in a graph. There are $m$ consumers, each has a budget and wants to buy two products. Consumers are represented by weighted edges. Given the prices of products, each consumer will buy both products she wants, at the given price, if she can afford to. Our objective is to help the seller price the products to maximize her profit. This problem is called {\em graph vertex pricing} ({\sf GVP}) problem and has resisted several recent attempts despite its current simple solution. This motivates the study of this problem on special classes of graphs. In this paper, we study this problem on a large class of graphs such as graphs with bounded treewidth, bounded genus and $k$-partite graphs. We show that there exists an {\sf FPTAS} for {\sf GVP} on graphs with bounded treewidth. This result is also extended to an {\sf FPTAS} for the more general {\em single-minded pricing} problem. On bounded genus graphs we present a {\sf PTAS} and show that {\sf GVP} is {\sf NP}-hard even on planar graphs. We study the Sherali-Adams hierarchy applied to a natural Integer Program formulation that $(1+ε)$-approximates the optimal solution of {\sf GVP}. Sherali-Adams hierarchy has gained much interest recently as a possible approach to develop new approximation algorithms. We show that, when the input graph has bounded treewidth or bounded genus, applying a constant number of rounds of Sherali-Adams hierarchy makes the integrality gap of this natural {\sf LP} arbitrarily small, thus giving a $(1+ε)$-approximate solution to the original {\sf GVP} instance. On $k$-partite graphs, we present a constant-factor approximation algorithm. We further improve the approximation factors for paths, cycles and graphs with degree at most three.

研究动机与目标

• 为有界树宽、有界亏格和k-分图等特殊图类设计高效的近似算法，以解决图定价问题（GVP）。
• 理解输入图的组合结构如何影响GVP的可近似性。
• 分析Sherali-Adams层级在减小GVP自然线性规划松弛整数性间隙方面的有效性。
• 建立下界结果，证明即使在平面图（有界亏格的子类）上，GVP也是NP难的。
• 改进低度图的近似因子，包括路径、环以及最大度≤4的图。

提出的方法

• 在树分解上设计动态规划算法，以在有界树宽图上实现GVP的FPTAS。
• 利用Baker和Eppstein的平面图与有界亏格图分解技术，将FPTAS扩展至有界亏格图。
• 将Sherali-Adams层级应用于GVP的自然整数规划公式，证明经过常数轮迭代后，有界树宽与亏格图的整数性间隙可减小至(1+ε)。
• 采用分解技术将边划分为两个最大度为二的子图（即路径与环），从而在每个子图上实现多项式时间最优解，并将结果合并以获得最大度为四图的2-近似解。
• 建立线性规划（LP_opt）以在所有边均贡献正收益时计算最优价格，并使用动态规划求解路径与环。
• 通过移除每条边并求解所得路径，再取最大收益，推导出环的递归算法。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为有界树宽图上的图定价问题设计FPTAS？
• RQ2 Sherali-Adams层级是否能有效减小有界树宽与有界亏格图上GVP自然LP松弛的整数性间隙？
• RQ3 GVP在k-分图上的可近似性如何？能否在路径与环等特殊子类上获得更优的近似因子？
• RQ4 图定价问题在平面图（有界亏格的子类）上是否为NP难？
• RQ5 能否通过边分解与子图优化，为最大度为四的图设计2-近似算法？

主要发现

• 在有界树宽图上，图定价问题存在FPTAS，其通过树分解上的动态规划实现。
• Sherali-Adams层级在常数轮迭代后，可将有界树宽与有界亏格图上自然LP公式的整数性间隙减小至(1+ε)。
• 为有界亏格图上的GVP设计了PTAS，并证明该问题在平面图上亦为NP难。
• 针对最大度为四的图，提出了一种2-近似算法，通过将边划分为两个最大度至多为二的子图实现。
• 为路径与环设计了多项式时间算法，最优解通过线性规划或动态规划计算得出。
• 对于最大度至多为三的图，实现了常数因子近似（比值为αk/(k−1) < 4），优于一般图的近似界。