[论文解读] Graph Product Structure for h-Framed Graphs

Michael A. Bekos, Giordano Da Lozzo+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2022

Advanced Graph Theory Research被引用 8

一句话总结

本文建立了 h-框架圖的新型圖乘積結構定理——涵蓋 1-平面圖、最佳 2-平面圖與 k-地圖圖——顯示它們是路徑、最大樹寬為 3 的平面圖，以及大小為 $3\lfloor h/2\rfloor + \lfloor h/3\rfloor - 1$ 的團的強乘積的子圖。此結果導致這些圖類別的佇列編號、非重複色數、p-中心色數與雙胞胎寬度參數之顯著改善，且為線性於 h 的上界，並提供可構造的演算法以實現高效分解。

ABSTRACT

Graph product structure theory expresses certain graphs as subgraphs of the strong product of much simpler graphs. In particular, an elegant formulation for the corresponding structural theorems involves the strong product of a path and of a bounded treewidth graph, and allows to lift combinatorial results for bounded treewidth graphs to graph classes for which the product structure holds, such as to planar graphs [Dujmović et al., J. ACM, 67(4), 22:1-38, 2020]. In this paper, we join the search for extensions of this powerful tool beyond planarity by considering the h-framed graphs, a graph class that includes 1-planar, optimal 2-planar, and k-map graphs (for appropriate values of h). We establish a graph product structure theorem for h-framed graphs stating that the graphs in this class are subgraphs of the strong product of a path, of a planar graph of treewidth at most 3, and of a clique of size $3\lfloor h/2 floor +\lfloor h/3 floor -1$. This allows us to improve over the previous structural theorems for 1-planar and k-map graphs. Our results constitute significant progress over the previous bounds on the queue number, non-repetitive chromatic number, and p-centered chromatic number of these graph classes, e.g., we lower the currently best upper bound on the queue number of 1-planar graphs and k-map graphs from 495 to 81 and from 32225k(k-3) to 61k, respectively. We also employ the product structure machinery to improve the current upper bounds of twin-width of planar and 1-planar graphs from 183 to 37, and from O(1) to 80, respectively. All our structural results are constructive and yield efficient algorithms to obtain the corresponding decompositions.

研究动机与目标

• 將圖乘積結構理論從平面圖推廣至包含 1-平面圖、最佳 2-平面圖與 k-地圖圖的 h-框架圖類別。
• 建立 h-框架圖的更緊緻結構分解，即其為路徑、最大樹寬 ≤3 的平面圖，以及大小為 $3\lfloor h/2\rfloor + \lfloor h/3\rfloor - 1$ 的團之強乘積的子圖。
• 推導出佇列編號、非重複色數、p-中心色數與雙胞胎寬度等關鍵圖參數的改進線性於 h 的上界。
• 提供可構造的演算法，能有效計算分解與參數界。

提出的方法

• 利用 h-框架圖的定義：圖具有繪圖形式，其中未交叉的邊形成一個雙連通的生成平面圖，且面大小 ≤ h。
• 在圖的分層分解上執行遞迴收縮程序，由一條路徑與一棵樹寬為 3 的平面圖引導。
• 在收縮過程中追蹤紅色邊，以控制最大紅色度數，確保所得結構符合強乘積形式。
• 引入另一種公式化方式，使用路徑的 $\lfloor h/2\rfloor$ 次冪，將團的大小減少至 $\max(3, h - 2)$。
• 將乘積結構應用於推導組合參數的界，方法是將有界樹寬圖的結果上推。
• 設計在二次時間內執行且可構造的演算法，使分解與界能實際計算。

实验结果

研究问题

• RQ1 圖乘積結構定理能否延伸至 h-框架圖，即平面圖與 k-平面圖的超類？
• RQ2 h-框架圖的強乘積分解中，樹寬與團大小的最緊密界為何？
• RQ3 是否可利用乘積結構推導出佇列編號、色數與雙胞胎寬度在 h-框架圖中的改進線性於 h 的上界？
• RQ4 能否透過以更高次冪的路徑取代原路徑，來減少乘積分解中的團大小？
• RQ5 能否使結構分解在演算法應用中高效且可構造？

主要发现

• 透過新乘積結構，1-平面圖與最佳 2-平面圖的佇列編號分別從 495 和 3267 改進至 81。
• k-地圖圖的佇列編號從 $32225k(k-3)$ 減少至 $61k$，實現與 k 的線性依存關係。
• k-地圖圖的非重複色數從 $21 \cdot 4^{10} \cdot k(k-3)$ 改進至 $256(3k + \lfloor 2k/3 \rfloor - 1)$；1-平面圖的非重複色數則從 $30 \cdot 4^4$ 改進至 $6 \cdot 4^4$。
• k-地圖圖的 p-中心色數從 $O(k^2 p^{10})$ 改進至 $O(k p^3 \log p)$；1-平面圖的 p-中心色數則從 $O(p^4)$ 改進至 $O(p^3 \log p)$。
• 平面圖的雙胞胎寬度從 183 改進至 37；1-平面圖與最佳 2-平面圖的雙胞胎寬度從 $O(1)$ 改進至 80。
• h-框架圖的雙胞胎寬度受線性於 h 的函數所限制，而先前的界為 $O(h^2)$ 的指數級。