[论文解读] Graph properties, graph limits and entropy

Hamed Hatami, Svante Janson+1 more|Repository of the Academy's Library (Library of the Hungarian Academy of Sciences)|Dec 19, 2013

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 15被引用 7

一句话总结

本文建立了遗传图性质的增长率与其极限图子的熵之间的深层联系。通过将遗传性质的着色数与其中图子极限的最大熵相联系，作者表明图子的熵刻画了此类性质的指数增长速率，最大熵恰好由无随机性或完全图子决定，具体取决于性质的结构。

ABSTRACT

We study the relation between the growth rate of a graph property and the entropy of the graph limits that arise from graphs with that property. In particular, for hereditary classes we obtain a new description of the colouring number, which by well-known results describes the rate of growth. We study also random graphs and their entropies. We show, for example, that if a hereditary property has a unique limiting graphon with maximal entropy, then a random graph with this property, selected uniformly at random from all such graphs with a given order, converges to this maximizing graphon as the order tends to infinity.

研究动机与目标

• 理解遗传图性质的增长率与其极限图子之间关系。
• 表征表示给定遗传图性质的图子中最大熵。
• 通过熵最大化，建立遗传性质着色数的新描述。
• 研究来自遗传图性质的均匀随机图的极限行为，特别是其收敛到唯一最大熵图子。

提出的方法

• 使用图极限理论，将图序列表示为图子，即对称可测函数 $ W: [0,1]^2 \to [0,1] $。
• 将图子的熵定义为 $ \operatorname{Ent}(W) = \iint h(W(x,y)) \, dx\,dy $，其中 $ h(p) = -p\log p - (1-p)\log(1-p) $。
• 引入随机性支持图子 $ W' $，其中 $ W'(x,y) = \mathbf{1}_{\{0 < W(x,y) < 1\}} $，以分析熵的贡献。
• 应用极值图论，特别是图论型结果，基于禁止的团结构来界定熵。
• 利用事实：若随机性支持为 $ K_{r+1} $-自由，则 $ \operatorname{Ent}(W) \leq 1 - \frac{1}{r} $，且等号成立当且仅当 $ W $ 与 $ R_r $ 中的图子等价。
• 利用图子在切范数下的收敛性以及诱导子图密度的连续性，将离散图序列与其极限联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 图子极限的熵如何与遗传图性质的增长率相关？
• RQ2 在表示给定遗传图性质的图子中，最大可能熵是多少？
• RQ3 在何种条件下，来自遗传图性质的均匀随机图会收敛到唯一的图子极限？
• RQ4 遗传图性质的着色数如何与其中图子极限的熵相关？
• RQ5 当来自遗传图性质的随机图的图子极限唯一时，其特征是什么，以及在什么条件下该极限唯一？

主要发现

• 遗传图性质 $ \mathcal{Q} $ 的极限中图子的最大熵为 $ 1 - \frac{1}{r} $，其中 $ r $ 是满足 $ \mathcal{Q} $ 为 $ K_{r+1} $-自由的最小整数。
• 该最大熵当且仅当图子与 $ R_r $ 中的图子等价时达到，即为具有 $ r $ 个等密度块的阶梯函数。
• 若 $ r = \infty $，即 $ \mathcal{Q} $ 包含任意大的团，则最大熵为 1，且唯一由常数图子 $ \frac{1}{2} $ 实现。
• 若最大熵图子在 $ \widehat{\mathcal{Q}} $ 中唯一，则来自 $ \mathcal{Q} $ 的均匀随机图收敛到该最大熵图子。
• 当且仅当最大熵为 0 时，$ \mathcal{Q} $ 为无随机性（即所有极限均为确定性），这发生在 $ r = 1 $ 时。
• 熵表征意味着 $ \mathcal{Q} $ 的增长率为 $ \exp(\Theta(n^2(1 - \frac{1}{r}))) $，与通过着色数已知的结果一致。