[论文解读] Graph Relations and Constrained Homomorphism Partial Orders

Yangjing Long|arXiv (Cornell University)|Apr 21, 2014

Advanced Graph Theory Research参考文献 4被引用 3

一句话总结

本文通过定义图关系和R-同态，提出了一种约束图同态的新框架，该框架广义化了满射同态和局部约束同态。研究建立了R-核心与R-余核心在同构意义下唯一且可在多项式时间内计算，并证明了由此产生的偏序关系的普遍性，包括最大度有界的图的线图和有向圈的情形。

ABSTRACT

We consider constrained variants of graph homomorphisms such as embeddings, monomorphisms, full homomorphisms, surjective homomorpshims, and locally constrained homomorphisms. We also introduce a new variation on this theme which derives from relations between graphs and is related to multihomomorphisms. This gives a generalization of surjective homomorphisms and naturally leads to notions of R-retractions, R-cores, and R-cocores of graphs. Both R-cores and R-cocores of graphs are unique up to isomorphism and can be computed in polynomial time. The theory of the graph homomorphism order is well developed, and from it we consider analogous notions defined for orders induced by constrained homomorphisms. We identify corresponding cores, prove or disprove universality, characterize gaps and dualities. We give a new and significantly easier proof of the universality of the homomorphism order by showing that even the class of oriented cycles is universal. We provide a systematic approach to simplify the proofs of several earlier results in this area. We explore in greater detail locally injective homomorphisms on connected graphs, characterize gaps and show universality. We also prove that for every $d\geq 3$ the homomorphism order on the class of line graphs of graphs with maximum degree $d$ is universal.

研究动机与目标

• 通过引入嵌入、单同态和满射同态等约束变体，广义化经典图同态偏序关系。
• 通过图关系（R-同态）定义一类新的同态，扩展满射同态和局部约束同态。
• 建立R-核心与R-余核心在同构意义下的存在性与唯一性，并证明其可在多项式时间内计算。
• 研究由约束同态诱导的偏序关系中的普遍性、间隙与对偶性。
• 通过有向圈提供标准同态偏序关系普遍性的简化证明。

提出的方法

• 将R-同态定义为通过图之间关系约束而广义化的满射同态。
• 引入R-重收缩，并利用其定义在R-同态等价关系下图类的典范代表——R-核心与R-余核心。
• 应用弱关系复合与关系等价性，分析所产生偏序关系的结构。
• 利用过去有限与未来有限序理论，刻画约束同态偏序关系中的间隙与对偶性。
• 通过证明有向圈类诱导出一个普遍偏序关系，从而证明普遍性。
• 利用线图构造与最大度有界的图族，将普遍性结果推广至最大度为d的图的线图。

实验结果

研究问题

• RQ1 R-同态诱导的偏序关系具有何种结构？R-核心与R-余核心与该结构有何关联？
• RQ2 R-核心与R-余核心在同构意义下是否唯一？是否可在多项式时间内计算？
• RQ3 约束同态（如局部单射、满射）的偏序关系是否具有普遍性？
• RQ4 能否通过R-同态或有向圈更简洁地证明标准同态偏序关系的普遍性？
• RQ5 在R-同态偏序关系中，对偶性与间隙存在的条件是什么？

主要发现

• 图的R-核心与R-余核心在同构意义下唯一，且可在多项式时间内计算。
• 有向圈类诱导出一个普遍偏序关系，为标准同态偏序关系的普遍性提供了显著简化的证明。
• 对每个d ≥ 3，最大度为d的图的线图类上的同态偏序关系是普遍的。
• 本文系统性地简化了约束同态理论与对偶性研究中先前的证明。
• 局部单射同态偏序关系中的间隙已被刻画，未来有限序中的对偶性也已识别。
• R-同态理论广义化了满射同态与局部约束同态，为研究约束图映射提供了一个统一框架。