[论文解读] Graph Searches and Their End Vertices

Yixin Cao, Zhifeng Wang+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2019

Algorithms and Data Compression被引用 3

一句话总结

本文对弦图及其相关图类上的各种图搜索算法的终点顶点进行了全面表征。针对弦图上的最大势搜索（MCS），提出了多项式时间算法；针对区间图上的BFS和弦图上的字典序DFS，提出了线性时间算法；同时证明了在弱弦图上MCS的终点顶点问题是NP完全的，并为一般图提供了2^n · n^O(1)时间复杂度的算法。

ABSTRACT

Graph search, the process of visiting vertices in a graph in a specific order, has demonstrated magical powers in many important algorithms. But a systematic study was only initiated by Corneil et al. a decade ago, and only by then we started to realize how little we understand it. Even the apparently naïve question "which vertex can be the last visited by a graph search algorithm," known as the end vertex problem, turns out to be quite elusive. We give a full picture of all maximum cardinality searches on chordal graphs, which implies a polynomial-time algorithm for the end vertex problem of maximum cardinality search. It is complemented by a proof of NP-completeness of the same problem on weakly chordal graphs. We also show linear-time algorithms for deciding end vertices of breadth-first searches on interval graphs, and end vertices of lexicographic depth-first searches on chordal graphs. Finally, we present 2^n * n^O(1)-time algorithms for deciding the end vertices of breadth-first searches, depth-first searches, and maximum cardinality searches on general graphs.

研究动机与目标

• 解决弦图上最大势搜索（MCS）的终点顶点问题。
• 确定弱弦图上各种图搜索算法的终点顶点问题的复杂性。
• 为区间图上的BFS和弦图上的LDFS开发线性时间算法以确定终点顶点。
• 为任意图上BFS、DFS、MCS和MNS的终点顶点问题提供通用的2^n · n^O(1)时间复杂度算法。
• 完成关键图类与搜索类型组合下终点顶点问题复杂性的完整分类。

提出的方法

• 提出一种基于顶点集与层级的递归动态规划公式，用于追踪BFS的访问顺序约束。
• 使用递归函数f(Xi, ui)来确定BFS中有效顶点访问顺序，基于邻接与邻域条件。
• 对DFS采用类似递归分解方法，使用子集X与端点s、t，结合连通性与顺序约束。
• 采用递归公式f(X, s, t) = ∨_{v∈(N(t)∩X)‑{s}} ∨_{Y⊇(N[t]∩X)‑{s}} [f((X\Y)∪{v}, s, v) ∧ f(Y, v, t)] 来验证有效的DFS访问顺序。
• 通过弦图的结构特性与最大团的性质，将该方法推广至MCS与MNS的处理。
• 利用分层分解与邻域约束，系统性地建模BFS与DFS的遍历顺序。

实验结果

研究问题

• RQ1 在弦图上进行最大势搜索时，哪些顶点可能成为最后一个被访问的顶点？
• RQ2 在弱弦图上，MCS的终点顶点问题是否为NP完全的？
• RQ3 能否在线性时间内计算区间图上BFS的终点顶点？
• RQ4 弦图上字典序DFS的终点顶点问题的复杂性如何？
• RQ5 在任意图上，解决图搜索终点顶点问题的时间复杂度是多少？

主要发现

• 为弦图上最大势搜索的终点顶点问题提出了一项多项式时间算法。
• 证明了在弱弦图上，MCS的终点顶点问题是NP完全的。
• 为确定区间图上BFS的终点顶点和弦图上LDFS的终点顶点，开发了线性时间算法。
• 为任意图上BFS、DFS、MCS和MNS的终点顶点问题提供了2^n · n^O(1)时间复杂度的算法。
• 本文完成了六种图搜索算法与四种图类组合下终点顶点问题复杂性的完整分类。
• 研究结果解决了弦图与弱弦图上关于MCS与LDFS的若干开放问题。