[论文解读] Graph Similarity and Homomorphism Densities

Jan Böker|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 2021

Graph theory and applications被引用 5

一句话总结

本文引入了树距离和路径距离，作为基于分数同构和同态密度的多项式时间可计算的图相似性度量。证明了当且仅当其树或路径同态密度接近时，两幅图在这些距离下相似，通过图子理论和泛函分析技术，将洛瓦兹型对应关系从精确情形推广到近似情形。

ABSTRACT

We introduce the tree distance, a new distance measure on graphs. The tree distance can be computed in polynomial time with standard methods from convex optimization. It is based on the notion of fractional isomorphism, a characterization based on a natural system of linear equations whose integer solutions correspond to graph isomorphism. By results of Tinhofer (1986, 1991) and Dvo\v{r}\'ak (2010), two graphs G and H are fractionally isomorphic if and only if, for every tree T, the number of homomorphisms from T to G equals the corresponding number from T to H, which means that the tree distance of G and H is zero. Our main result is that this correspondence between the equivalence relations "fractional isomorphism" and "equal tree homomorphism densities" can be extended to a correspondence between the associated distance measures. Our result is inspired by a similar result due to Lov\'asz and Szegedy (2006) and Borgs, Chayes, Lov\'asz, S\'os, and Vesztergombi (2008) that connects the cut distance of graphs to their homomorphism densities (over all graphs), which is a fundamental theorem in the theory of graph limits. We also introduce the path distance of graphs and take the corresponding result of Dell, Grohe, and Rattan (2018) for exact path homomorphism counts to an approximate level. Our results answer an open question of Grohe (2020). We establish our main results by generalizing our definitions to graphons as this allows us to apply techniques from functional analysis. We prove the fairly general statement that, for every "reasonably" defined graphon pseudometric, an exact correspondence to homomorphism densities can be turned into an approximate one. We also provide an example of a distance measure that violates this reasonableness condition. This incidentally answers an open question of Greb\'ik and Rocha (2021).

研究动机与目标

• 建立基于同态计数的图相似性度量的理论基础，填补图表示学习中对图嵌入理解的空白。
• 解决Grohe（2020）提出的一个开放问题：基于矩阵范数的距离（如分数同构所导出的距离）是否在近似意义上对应于同态密度。
• 利用图子与泛函分析，将分数同构与同态密度之间的精确对应关系推广至近似距离情形。
• 回答Grebík与Rocha（2021）提出的开放问题：某些图子集合是否闭合，证明商图子集合在图子空间中是稠密的。

提出的方法

• 将树距离 δT 定义为双随机矩阵上矩阵范数距离的归一化变体，源自分数同构系统。
• 类似地引入路径距离 δP，用于路径同态计数，将Dell、Grohe与Rattan（2018）的结果推广至近似设置。
• 将图子伪度量扩展至允许使用泛函分析技术，证明任何具有精确同态密度对应关系的‘合理定义’伪度量，也必须满足近似对应关系。
• 利用图子空间的紧致性与逆计数引理，推导出伪度量距离与同态密度差异之间的定量界。
• 为颜色距离 δC□ 证明一个计数引理，表明对任意树 T，有 |t(T, G) − t(T, H)| ≤ |E(T)| · δC□(G, H)。
• 构造显式图序列，证明 δT□ 与 δC□ 在拓扑上不同，表明 δT□ 严格弱于 δC□。

实验结果

研究问题

• RQ1 分数同构与同态计数相等的关系能否从精确情形推广至近似情形？
• RQ2 图距离度量（如 δT）与树和路径的同态密度之间是否存在定量关系？
• RQ3 集合 {W/C(W) | W ∈ W₀} 是否构成图子空间中的闭集，如 Grebík 与 Rocha 所问？
• RQ4 图子理论能否用于将基于有界树宽或路径型子结构的距离度量推广？
• RQ5 树距离在多大程度上反映了 ε-均衡划分或颜色细化等结构性质？

主要发现

• 树距离 δT 满足关键对应关系：两幅图在 δT 下接近，当且仅当其树同态密度接近。
• 为颜色距离建立了定量计数引理：|t(T, G) − t(T, H)| ≤ |E(T)| · δC□(G, H)，表明小的 δC□ 意味着小的密度差异。
• 树距离 δT□ 严格弱于颜色距离 δC□，通过反例证明：存在图列 {Gn} 使得 δT□(Gn, K3) → 0，但 δC□(Gn, K3) ≥ 1/9。
• 集合 {WG/CG∞ | G 为图} 在图子空间 W₀ 中是稠密的，从而否定性回答了 Grebík 与 Rocha（2021）关于闭性的问题。
• 对任意图子 W 与 ε > 0，存在一个顶点数为 O(1/ε) 的图 G，使得 δ□(G/CG∞, W) ≤ 3·v(H)/n + 1/4·(v(H)/n)²，表明可通过商图实现有效逼近。
• 本文证明了路径的定量逆计数引理，使用与一般图计数引理相同的因子 e(F)，但将树的类似结果留作具有挑战性的开放方向。