[论文解读] Graph Sparsification by Effective Resistances

Daniel A. Spielman, Nikhil Srivastava|ArXiv.org|Mar 6, 2008

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 17被引用 7

一句话总结

本文提出了一种基于有效电阻作为采样概率的加权图谱稀疏化近乎线性时间算法。通过利用低伸展生成树近似有效电阻并高效求解线性系统，该方法构建了一个具有 $O(n \log n / \epsilon^2)$ 条边的稀疏化图，其所有二次型在 $1\pm\epsilon$ 范围内被保留，相较于之前的工作在边数和一般性方面均有改进。

ABSTRACT

We present a nearly-linear time algorithm that produces high-quality sparsifiers of weighted graphs. Given as input a weighted graph $G=(V,E,w)$ and a parameter $ε>0$, we produce a weighted subgraph $H=(V, ilde{E}, ilde{w})$ of $G$ such that $| ilde{E}|=O(n\log n/ε^2)$ and for all vectors $x\in\R^V$ $(1-ε)\sum_{uv\in E}(x(u)-x(v))^2w_{uv}\le \sum_{uv\in ilde{E}}(x(u)-x(v))^2 ilde{w}_{uv} \le (1+ε)\sum_{uv\in E}(x(u)-x(v))^2w_{uv}. (*)$ This improves upon the sparsifiers constructed by Spielman and Teng, which had $O(n\log^c n)$ edges for some large constant $c$, and upon those of Benczúr and Karger, which only satisfied (*) for $x\in\{0,1\}^V$. A key ingredient in our algorithm is a subroutine of independent interest: a nearly-linear time algorithm that builds a data structure from which we can query the approximate effective resistance between any two vertices in a graph in $O(\log n)$ time.

研究动机与目标

• 开发一种近乎线性时间算法，生成边数最优的高质量谱稀疏化图。
• 将仅保留割权重的割稀疏化图（cut sparsifiers）扩展为保留所有二次型 $x^T L x$ 的谱稀疏化图。
• 实现具有 $O(n \log n / \epsilon^2)$ 条边的稀疏化图，优于 Spielman 和 Teng 的 $O(n \log^c n)$ 构造。
• 确保稀疏化图满足：对所有 $x \in \mathbb{R}^n$，其平方差之和 $ (x(u)-x(v))^2 w_{uv} $ 在 $1\pm\epsilon$ 范围内被保留。
• 引入额外的结构保证，确保采样过程中任意顶点的关联边权重不会被过度放大。

提出的方法

• 以与边的有效电阻 $R_e$ 成正比、并按边权 $w_e$ 缩放的概率对稀疏化图 $H$ 中的边进行采样。
• 使用近乎线性时间算法，通过低伸展生成树和基于压缩的线性系统求解器，近似计算有效电阻。
• 构建一个压缩矩阵 $\widetilde{Z}$，使得 $\|\widetilde{Z}(\chi_u - \chi_v)\|^2$ 在每次查询 $O(\log n / \epsilon^2)$ 时间内近似有效电阻 $R_{uv}$。
• 通过 $1/(q p_e)$ 对采样边进行重缩放，以保持拉普拉斯二次型的无偏期望。
• 应用 Bennett 不等式，限制任意顶点的总重缩放关联边权重超过 $2\deg(v)$ 的概率。
• 将采样概率与基于顶点度数的最小阈值相结合，以高概率确保结构性质 $\sum_{e\ni v} \tilde{w}_e / w_e \leq 2\deg(v)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用有效电阻设计一种边数最优、近乎线性时间的谱稀疏化算法？
• RQ2 能否足够快速地计算有效电阻的近似值，使得采样在近乎线性时间内可行？
• RQ3 以与 $w_e R_e$ 成正比的概率采样边，是否能生成具有 $O(n \log n / \epsilon^2)$ 条边的谱稀疏化图？
• RQ4 能否构造出一种稀疏化图，使得采样过程中任意顶点的关联边权重不会被过度放大？
• RQ5 即使有效电阻仅以常数因子近似，算法是否仍能保持谱性质？

主要发现

• 该算法构建了一个谱稀疏化图 $H$，其边数为 $O(n \log n / \epsilon^2)$，且以至少 $1/2$ 的概率满足对所有 $x \in \mathbb{R}^n$ 有 $ (1-\epsilon)x^T L x \leq x^T \tilde{L} x \leq (1+\epsilon)x^T L x $。
• 利用在 $\widetilde{O}(m \log r / \epsilon^2)$ 时间内构建的数据结构，任意两顶点间有效电阻的近似可在 $O(\log n / \epsilon^2)$ 时间内完成。
• 该算法的时间复杂度为 $\widetilde{O}(m / \epsilon^2)$，实现了近乎线性时间复杂度。
• 通过使用下界为 $\beta / (n \min(\deg(u), \deg(v)))$ 的采样概率，该算法确保对所有 $v$ 有 $\sum_{e\ni v} \tilde{w}_e / w_e \leq 2\deg(v)$，其概率至少为 $1 - 1/n$。
• 该方法优于 Benczúr 和 Karger 的割稀疏化图（仅保留割权重）以及 Spielman 和 Teng 的谱稀疏化图（边数更多）。
• 该构造具有鲁棒性：即使有效电阻仅以常数因子近似，仍能生成有效的谱稀疏化图，如推论 6 所示。