[论文解读] Graph States Under the Action of Local Clifford Group in Non-Binary Case

Mohsen Bahramgiri, Salman Beigi|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2006

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 27

一句话总结

该论文建立了对 d > 2 时非同构且非局部 Clifford 等价的 qudit 图态的下界，将局部 Clifford 群作用推广至非二进制情形，通过图运算实现，并提出了一个基于其稳定子矩阵的线性代数条件的多项式时间算法，用于判断两个非二进制图态之间的局部等价性。

ABSTRACT

Graph states are well-entangled quantum states that are defined based on a graph. Of course, if two graphs are isomorphic their associated states are the same. Also, we know local operations do not change the entanglement of quantum states. Therefore, graph states that are either isomorphic or equivalent under the local Clifford group have the same properties. In this paper, we first establish a bound on the number of graph states which are neither isomorphic nor equivalent under the action of local Clifford group. Also, we study graph states in non-binary case. We translate the action of local Clifford group, as well as measurement of Pauli operators, into transformations on their associated graphs. Finally, we present an efficient algorithm to verify whether two graph states, in non-binary case, are locally equivalent or not.

研究动机与目标

• 建立在非二进制情形下，既非同构也非在局部 Clifford 群作用下等价的图态数量的下界。
• 将局部 Clifford 群在图态上的作用从 qubits (d=2) 推广至 qudits (d>2)，并将其转化为图运算。
• 将 Pauli 测量的表征方式从图变换推广至非二进制情形。
• 开发一种高效算法，用于判断两个非二进制图态之间是否存在局部等价性。
• 证明任意稳定子态在非二进制情形下均局部 Clifford 等价于一个图态，推广了二进制情形的结果。

提出的方法

• 通过矩阵形式 (Idₙ | M) 表示图态，其中 M 编码图的邻接关系。
• 利用辛运算将 qudit 上局部 Clifford 操作的作用转化为对图邻接矩阵 M 的变换。
• 将局部 Clifford 操作建模为涉及对角矩阵 E, F, E', F' 的矩阵变换，且对每个 qudit 满足 EᵢF'ᵢ − FᵢE'ᵢ = 1。
• 将两个图态之间的等价性条件表述为在 𝔽_d 上未知量 E, E', F, F' 的线性方程组（公式 1）。
• 利用解空间必须满足 E×F' − E'×F = (1,1,…,1) 的条件（公式 2）来检验局部等价性。
• 应用关键定理（定理 9）：若两个图等价，则公式 (1) 的解空间包含一个余维数 ≤5 的仿射子空间，且满足公式 (2)，从而可通过至多五个基向量的线性组合实现多项式时间检查。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 d > 2，n 个 qudit 上非同构且非局部 Clifford 等价的图态的最小数量是多少？
• RQ2 如何用图运算表征局部 Clifford 群在非二进制图态上的作用？
• RQ3 在非二进制情形下，能否将 qudit 上的 Pauli 测量转化为图论操作？
• RQ4 是否存在一个多项式时间算法，用于判断两个非二进制图态是否局部 Clifford 等价？
• RQ5 每个 qudit 上的稳定子态是否都存在一个局部 Clifford 等价的图态表示？

主要发现

• 该论文建立了在非二进制情形下，非同构且非局部 Clifford 等价图态数量的下界。
• 证明了任意 qudit 上的稳定子态均局部 Clifford 等价于一个图态，推广了二进制情形的结果。
• 局部 Clifford 群在非二进制图态上的作用被完全表征为对邻接矩阵 M 的矩阵变换，涉及类似辛的运算。
• 该论文提供了一种高效算法，通过求解线性方程组并检查行列式条件，在多项式时间内判断两个非二进制图态是否局部等价。
• 该算法依赖于一个关键事实：若两个图态等价，则等价方程的解空间包含一个余维数至多为 5 的仿射子空间，从而实现高效验证。
• 该方法将等价性问题简化为检查解基至多五个线性组合的有限集合，确保了多项式时间复杂度。