[论文解读] Graph towers, laminations and their invariant measures

Nicolas Bédaride, Arnaud Hilion+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 27, 2015

semigroups and automata theory参考文献 31被引用 2

一句话总结

本文引入图塔（graph towers）与向量塔（vector towers）作为组合框架，系统地描述并计算符号层化结构（包括自由群上的子移位与测地线）的不变测度。通过将转移矩阵的非负特征向量与不变测度关联，建立了遍历测度与转移矩阵的极值非负特征向量之间的一一对应关系，从而实现对柱集测度的高效计算，并分析自由群自同构下的不动点。

ABSTRACT

In this paper we present a combinatorial machinery, consisting of a graph tower $\overleftarrow \Gamma$ and vector towers $\overleftarrow v$ on $\overleftarrow \Gamma$, which allows us to efficiently describe all invariant measures $\mu = \mu^{\overleftarrow v}$ on any given shift space over a finite alphabet. The new technology admits a number of direct applications, in particular concerning invariant measures on non-primitive substitution subshifts, minimal subshifts with many ergodic measures, or an efficient calculation of the measure of a given cylinder. It also applies to currents on a free group $F_N$, and in particular the set of projectively fixed currents under the action of a (possibly reducible) endomorphism $\varphi: F_N o F_N$ is determined, when $\varphi$ is represented by a train track map.

研究动机与目标

• 开发一个统一的组合框架，用于描述符号层化结构（包括自由群上的子移位与测地线）的不变测度。
• 建立一种构造性方法，通过图塔的有限逼近计算子移位中任意柱集的测度。
• 通过转移矩阵的极值非负特征向量表征符号层化结构上遍历不变测度的空间。
• 利用平稳图塔分析自由群的射影测地线空间上双曲自同构的不动点集。
• 研究外空间中R-树的几何结构与其对偶层化所携带的遍历测地线数量之间的关系。

提出的方法

• 本文构建一个展开图塔，即一系列有限图与边展开映射的无限序列，其中每个映射将边映射为非平凡的约化边路径。
• 定义“使用层化结构”为基图中最终被塔高层级边像覆盖的双向无限约化路径的集合。
• 引入向量塔作为一系列非负向量序列，按各图的边索引，通过转移矩阵 M(f) 实现兼容性，该矩阵统计边交叉次数。
• 转移矩阵 M(f) 编码了映射 f 下边像在目标图中遍历边（或其逆）的方式，构成动力系统的核心。
• 主要构造将每个向量塔映射为使用层化结构上的不变测度，柱集测度可通过塔的充分大有限截断恢复。
• 对于平稳图塔（即映射 f: Γ → Γ 恒定），不变测度空间同构于 M(f) 的非负特征向量锥，极值向量对应于遍历测度。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用组合数据系统地描述并计算子移位与符号层化结构上的不变测度？
• RQ2 在图塔背景下，遍历不变测度与转移矩阵的极值非负特征向量之间的确切对应关系是什么？
• RQ3 自由群的射影测地线空间上双曲自同构的不动点集的结构是什么？
• RQ4 在自由或循环点稳定子的R-树中，其对偶层化所携带的射影遍历测地线的最大数量是多少？
• RQ5 能否对极小曲面层化结构上的遍历测度数量进行有界估计，且该界是否与薄图塔生成的层化结构的界一致？

主要发现

• 每个符号层化结构 LΣ 上的不变测度均可唯一地由展开图塔 ÐΓ 上的向量塔生成，且满足 LΣ = LÐΓ。
• 通过充分大的图塔及其关联向量塔的有限截断，可任意精度计算任意柱集的测度。
• 对于由映射 f: Γ → Γ 定义的平稳图塔 ÐΓf，遍历不变测度空间与转移矩阵 M(f) 的极值非负特征向量之间存在一一对应。
• 平稳图塔 ÐΓf 上向量塔锥的维数等于其关联使用层化结构 LΣf 上遍历概率测度的数量。
• 对于某些双曲自同构 ϕ ∈ Out(FN)，射影不动测地线集由 M(f) 的极值特征向量决定，其中 f 是 ϕ 的列车轨道代表。
• 在 BCVN 中，R-树对偶层化所携带的射影遍历测地线的最大数量上界为 3/2(N−1)，且在特定情形（如加百代最小层化结构）下取等。