[论文解读] Graphic Realizations of Joint-Degree Matrices

Georgios Amanatidis, Bradley Green+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 23, 2015

Complex Network Analysis Techniques参考文献 26被引用 15

一句话总结

本文引入了联合度矩阵图与连通图实现问题，其中同时指定了顶点度数和类间边的确切数量。提出了多项式时间算法来判断实现可能性并构造解，采用一种新颖的递归方法实现连通性，并通过马尔可夫链实现对实现结果的均匀采样——为具有指定度类连通性的复杂网络建模提供了严谨框架。

ABSTRACT

In this paper we introduce extensions and modifications of the classical degree sequence graphic realization problem studied by Erdős-Gallai and Havel-Hakimi, as well as of the corresponding connected graphic realization version. We define the joint-degree matrix graphic (resp. connected graphic) realization problem, where in addition to the degree sequence, the exact number of desired edges between vertices of different degree classes is also specified. We give necessary and sufficient conditions, and polynomial time decision and construction algorithms for the graphic and connected graphic realization problems. These problems arise naturally in the current topic of graph modeling for complex networks. From the technical point of view, the joint-degree matrix realization algorithm is straightforward. However, the connected joint-degree matrix realization algorithm involves a novel recursive search of suitable local graph modifications. Also, we outline directions for further work of both theoretical and practical interest. In particular, we give a Markov chain which converges to the uniform distribution over all realizations. We show that the underline state space is connected, and we leave the question of the mixing rate open.

研究动机与目标

• 形式化并解决联合度矩阵图实现问题，其中同时指定了顶点度数和类间边的确切数量。
• 将该问题扩展至连通图实现问题，确保生成的图连通，同时遵守类间边的约束条件。
• 为这些问题开发高效的决策与构造算法，时间复杂度在顶点数上为多项式时间。
• 通过马尔可夫链探索对实现结果的均匀采样，已建立连通状态空间，但混合速率问题仍待解决。
• 识别开放问题，包括向匹配或网络流问题的约化，以及向加权和基于子集的广义边约束的扩展。

提出的方法

• 引入联合度矩阵 $D = (d_{ij})$ 来编码顶点类 $V_i$ 与 $V_j$ 之间的边数，当 $i = j$ 时包含类内边。
• 基于度数和类间边约束，提出一种构造性方法，实现多项式时间的图实现问题求解。
• 针对连通实现问题，采用一种新颖的递归搜索策略，通过合法边交换（翻转）对局部图结构进行修改，以在保持度数和边数约束的同时确保连通性。
• 使用合法边交换（翻转）将一个实现转换为另一个，同时保持度数和类间边数不变。
• 提出一种基于这些合法交换的马尔可夫链，证明其底层状态空间是连通的。
• 指出可能向匹配或网络流问题约化，但构造算法中的交替序列使此类约化变得复杂。

实验结果

研究问题

• RQ1 给定顶点度数和类间边的确切数量，能否构造出一个简单图？
• RQ2 能否在保持指定类间边数的前提下，确保该实现是连通的？
• RQ3 能否通过马尔可夫链高效地对所有有效实现进行均匀采样？
• RQ4 所提出的马尔可夫链是否快速混合，或混合时间仍为开放问题？
• RQ5 联合度矩阵实现问题能否约化为已知的组合优化问题，如匹配或网络流问题？

主要发现

• 联合度矩阵图实现问题具有实现的充要条件，并提供了多项式时间的决策与构造算法。
• 提出了一种基于递归局部修改（通过合法边交换）的多项式时间算法，用于连通联合度矩阵图实现问题。
• 在所提出的马尔可夫链下，实现的状态空间是连通的，原则上可实现均匀采样，但快速混合尚未得到证明。
• 连通实现算法依赖于一种新颖的递归搜索策略，在图变换过程中保持度数和类间边约束。
• 本文证明了经典 Havel-Hakimi 和 Erdős-Gallai 条件被新框架所推广，该框架显式纳入了类间边数。
• 本工作为具有精确度类连通性控制的复杂网络建模开辟了新方向，潜在应用包括网络拓扑生成与分析。