[论文解读] Graphic TSP in cubic graphs

Zdenĕk Dvořák, Daniel Král͏̌+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 26, 2016

Advanced Graph Theory Research参考文献 13被引用 4

一句话总结

本文提出了一种在立方图中求解图 TSP 的多项式时间 $\frac{9}{7}$-近似算法，相较于此前针对 2-连通立方图的最佳因子 1.3 有所改进。关键贡献在于证明了每个 2-连通立方 $n$-顶点图均存在长度至多为 $\frac{9}{7}n - 1$ 的 TSP 路径，该结果通过在次立方图中引入新颖的约化方法，并对具有受控多余度的欧拉子图进行精细化分析而实现。

ABSTRACT

We present a polynomial-time 9/7-approximation algorithm for the graphic TSP for cubic graphs, which improves the previously best approximation factor of 1.3 for 2-connected cubic graphs and drops the requirement of 2-connectivity at the same time. To design our algorithm, we prove that every simple 2-connected cubic n-vertex graph contains a spanning closed walk of length at most 9n/7-1, and that such a walk can be found in polynomial time.

研究动机与目标

• 将立方图中图 TSP 的近似因子提升至超过先前最佳的 1.3。
• 在保持强性能保证的前提下，消除近似算法中对 2-连通性的要求。
• 通过结构图约化方法，为立方图和次立方图中的最小 TSP 路径长度建立紧致上界。
• 提出一种新的证明框架，允许将次立方图作为中间输入，从而实现比以往方法更灵活的约化。
• 构造极值例子，表明 $\frac{9}{7}$ 因子在一般情况下无法进一步改进，并分析在结构约束下的界紧致性。

提出的方法

• 引入一种作用于 2-连通次立方图的新约化操作，该操作保持 2-连通性，减少顶点数，同时使欧拉子图的最小多余度减少 1。
• 将生成欧拉子图的多余度定义为连通分量数减去子图中奇度顶点数，并利用其来界定 TSP 路径长度。
• 应用第二种更复杂的约化操作，将一个“钻石”结构（即去掉一条边的 $K_4$）替换为更大的子图，该操作使图的大小增加 8 个顶点，最小多余度增加 2，同时保持 2-连通性。
• 在基图 $K_{2,3}$ 上递归应用这些约化操作，构造出一类 2-连通次立方图，其顶点数满足 $n \equiv 2 \pmod{3}$，且最小多余度为 $\frac{n + n_2}{4} + 1$，从而建立 TSP 路径长度的下界。
• 构造第二类 2-连通立方图，其顶点数满足 $n \equiv 0 \pmod{8}$，且最小多余度为 $n/4$，表明 $\frac{5}{4}n$ 的界是紧致的。
• 证明：若在 2-连通立方图中存在长度至多为 $\frac{9}{7}n - 1$ 的 TSP 路径，则可通过多项式时间计算此类路径，从而实现 $\frac{9}{7}$-近似算法。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不依赖 2-连通性的情况下，将立方图中图 TSP 的近似因子提升至 1.3 以上？
• RQ2 2-连通立方图中，最短 TSP 路径长度的最紧上界是什么？
• RQ3 能否利用生成欧拉子图的最小多余度，为次立方图和立方图中的 TSP 路径长度推导出更紧的界？
• RQ4 在猜想的界 $\text{tsp}(G) \leq \frac{5}{4}n + \beta n_2$ 中，系数是否对次立方图为紧致？
• RQ5 次立方图中的结构约化能否为立方图中图 TSP 的近似保证带来改进？

主要发现

• 每个 2-连通立方 $n$-顶点图均存在长度至多为 $\frac{9}{7}n - 1$ 的 TSP 路径，这是首个优于 $1.3n$ 因子的此类界。
• 本文提出了一种多项式时间算法，可在任意 2-连通次立方图（含 $n$ 个顶点和 $n_2$ 个度为 2 的顶点）中计算出长度至多为 $\frac{9}{7}n + \frac{2}{7}n_2 - 1$ 的 TSP 路径。
• $\frac{9}{7}$-近似因子对立方图中图 TSP 是紧致的，通过构造一个 2-连通立方图（其无更短的 TSP 路径长度低于 $\frac{5}{4}n - 2$）得以证明，表明在无额外约束下 $\frac{9}{7}$ 无法进一步改进。
• 一类满足 $n \equiv 2 \pmod{3}$ 且 $n_2 = \Theta(n)$ 的 2-连通次立方图，其无更短的 TSP 路径长度低于 $\frac{5}{4}n + \frac{1}{4}n_2 - 1$，表明该界中系数 $\frac{1}{4}$ 无法改进。
• 所提出的约化操作保持了 2-连通性，并能精确追踪最小多余度，从而实现对 TSP 路径长度的紧致界推导。
• 本文提供的构造与目前已知的最佳下限不可近似性结果完全匹配，确认在当前复杂性假设下，$\frac{9}{7}$ 是该类问题的最佳可能近似因子。