[论文解读] Graphical and uniform consistency of estimated optimal transport plans

Johan Segers|arXiv (Cornell University)|Aug 4, 2022

Fuzzy Systems and Optimization被引用 4

一句话总结

该论文通过将最大循环单调映射视为乘积空间中的闭集，并在Fell拓扑下应用随机集理论，建立了欧氏空间中概率测度之间估计最优传输计划的图形一致性和一致一致性。关键贡献是在弱矩条件下的一般一致性结果，确保了传输计划的局部一致收敛，从而支持基于最优传输的多变量秩和分位数的有效推断。

ABSTRACT

A general theory is provided delivering convergence of maximal cyclically monotone mappings containing the supports of coupling measures of sequences of pairs of possibly random probability measures on Euclidean space. The theory is based on the identification of such a mapping with a closed subset of a Cartesian product of Euclidean spaces and leveraging tools from random set theory. Weak convergence in the appropriate Fell space together with the maximal cyclical monotonicity then automatically yields local uniform convergence of the associated mappings. Viewing such mappings as optimal transport plans between probability measures with respect to the squared Euclidean distance as cost function yields consistency results for notions of multivariate ranks and quantiles based on optimal transport, notably the empirical center-outward distribution and quantile functions.

研究动机与目标

• 建立欧氏空间中概率测度之间估计最优传输计划的图形一致性和一致一致性。
• 为源自最优传输的多变量秩和分位数提供一个一般的一致性框架，尤其适用于非参数统计。
• 在最小矩假设下扩展Glivenko–Cantelli型结果，避免对密度或支撑集的严格限制条件。
• 通过最大单调映射理论与Fell拓扑下的集合收敛性统一传输计划的收敛性。
• 支持高维、分布自由推断中中心向外分布函数和分位数函数的理论有效性。

提出的方法

• 将最优传输计划建模为最大循环单调映射，将其识别为乘积空间 $\mathbb{R}^d \times \mathbb{R}^d$ 中的闭子集。
• 应用随机集理论工具，分析这些闭集在Fell拓扑下的收敛性。
• 结合Fell拓扑下的弱收敛与最大循环单调性，推导映射的局部一致收敛。
• 利用Prohorov定理和弱紧致性，确保耦合测度及其支撑集的预紧性。
• 采用Knott–Smith最优性准则和Rockafellar定理，将最优传输计划表征为凸函数的次微分。
• 应用Alberti与Ambrosio（1999）的准则，证明映射在稠密子集上相等，从而确保图形收敛。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，估计的最优传输计划会图形收敛且一致收敛于真实传输计划？
• RQ2 是否可以在不强加密度或支撑集假设的前提下，建立多变量秩和分位数函数的一致一致性？
• RQ3 Fell拓扑如何促进对多值传输映射收敛性的分析？
• RQ4 在弱矩条件下，传输计划的收敛性在多大程度上可得到保证？
• RQ5 最大循环单调性在确保极限传输计划的唯一性和稳定性方面起什么作用？

主要发现

• 所有循环单调耦合的集合 $\varPi_{\mathrm{cm}}(P,Q)$ 是弱闭的，确保了在测度弱收敛下的稳定性。
• 在 $P_n \to P$ 和 $Q_n \to Q$ 弱收敛的条件下，最优传输计划序列 $T_n = \partial\psi_n$ 在包含于 $P$ 支撑集内部的任意紧集 $V$ 上图形收敛于 $T = \partial\psi$。
• 序列 $T_n$ 的任意聚点都是包含 $\operatorname{spt}\pi$ 的最大单调映射，且所有此类极限在 $V$ 上一致，从而保证图形收敛。
• 通过Fell拓扑收敛与最大循环单调性的结合，确保了传输映射的局部一致收敛。
• 该结果仅需最低限度的假设——极限测度只需具有有限二阶矩，无需密度或支撑集的正则性要求。
• 该框架支持经验中心向外分位数和秩函数的理论有效性，使多变量统计中的分布自由推断成为可能。