[论文解读] Graphical Fourier Theory and the Cost of Quantum Addition

Stach Kuijpers, John van de Wetering+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 16, 2019

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 11被引用 11

一句话总结

本文引入图形傅里叶理论作为ZX-和ZH-演算之间的桥梁，通过半布尔函数的傅里叶变换，实现表示受控-相位门（ZH）与表示指数泡利门（ZX）的图示之间的系统性转换。主要贡献是一种图示化方法，通过广义的、自动化的优化技术，基于傅里叶展开规则与相位抵消，简化Toffoli门与量子加法器电路，将T门数量减少高达50%。

ABSTRACT

The ZX-calculus is a convenient formalism for expressing and reasoning about quantum circuits at a low level, whereas the recently-proposed ZH-calculus yields convenient expressions of mid-level quantum gates such as Toffoli and CCZ. In this paper, we will show that the two calculi are linked by Fourier transform. In particular, we will derive new Fourier expansion rules using the ZH-calculus, and show that we can straightforwardly pass between ZH- and ZX-diagrams using them. Furthermore, we demonstrate that the graphical Fourier expansion of a ZH normal-form corresponds to the standard Fourier transform of a semi-Boolean function. As an illustration of the calculational power of this technique, we then show that several tricks for reducing the T-gate cost of Toffoli circuits, which include for instance quantum adders, can be derived using graphical Fourier theory and straightforwardly generalized to more qubits.

研究动机与目标

• 通过半布尔函数的傅里叶变换，建立ZX演算与ZH演算之间的正式联系。
• 开发一种图示化方法，实现表示受控-相位门的ZH图示与表示奇偶相位门的ZX图示之间的转换。
• 将此框架应用于系统推导并推广已知的Toffoli门与量子加法器电路的T门减少技术。
• 通过将傅里叶谱编码为ZX/ZH图示中的系数，实现自动化电路优化，促进低T门数量的实现。

提出的方法

• 利用奇偶函数的正交基，在ZH演算中推导新的傅里叶展开规则，实现ZH图示与ZX图示之间的转换。
• 使用带索引的!-方框记法，图形化表示n量子比特相位多项式及其傅里叶谱。
• 应用傅里叶变换，将ZH图示转换为ZX图示，反之亦然，其中系数对应于半布尔函数的傅里叶谱。
• 利用傅里叶变换后图示中的相位抵消，减少T门数量，尤其在Toffoli门的计算-反计算对中效果显著。
• 将已知的优化技巧（如使用辅助比特的4-T门Toffoli门）推广为可重用框架，结合傅里叶变换与受控-相位门重写技术。
• 通过Clifford门（如CZ门）进行后选择与校正，处理基于辅助比特构造中的测量结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用ZH演算以表达和操作相位多项式，从而实现与ZX演算之间的系统性转换？
• RQ2 在量子电路图示的语境下，半布尔函数的傅里叶变换具有何种图示化解释？
• RQ3 能否利用此图形化傅里叶框架推导并推广已知的Toffoli门与加法器电路的T门减少技术？
• RQ4 傅里叶谱中的相位抵消如何对应于量子电路中T门数量的减少？
• RQ5 该方法能否扩展以推导出多控制Toffoli门的新恒等式，从而降低非Clifford资源消耗？

主要发现

• 本文建立了半布尔函数的傅里叶变换与ZH图示和ZX图示之间转换的直接对应关系，傅里叶谱中的系数与图示中的相位值完全匹配。
• 推导并推广了使用一个辅助量子比特的4-T门Toffoli门实现，通过4(n−1)个Z(π/2n)旋转与一个辅助量子比特，推广至n控制的Toffoli门。
• 该技术通过简化Toffoli门的计算-反计算对，使量子加法器电路的T门成本减少50%，将8个T门减少至4个。
• 傅里叶变换后图示中的相位抵消可实现系统性简化，后选择辅助量子比特态的校正仅需Clifford操作（如CZ门）。
• 该方法将已知的优化技巧推广为可重用框架，暗示其可集成至PyZX等自动化工具中用于电路优化。
• 该框架通过结合ZX与ZH图示化推理，能够推导出此前未知的Toffoli电路恒等式，尤其在非Clifford资源最小化方面具有潜力。