[论文解读] Graphical representations of Ising and Potts models

Jakob E. Björnberg|arXiv (Cornell University)|Nov 11, 2010

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 72被引用 5

一句话总结

本文通过一种新颖的随机自旋表示法，为量子伊辛模型和时空波茨模型构建了图形表示，实现了对相变的严格分析。证明了量子伊辛模型相变的锐利性，并通过微分不等式和随机方法，在一维和星形几何结构中建立了临界点的界限。

ABSTRACT

We study graphical representations for two related models. The first model is the transverse field quantum Ising model, an extension of the original Ising model which was introduced by Lieb, Schultz and Mattis in the 1960's. The second model is the space-time percolation process, which is closely related to the contact model for the spread of disease. We consider a `space-time' random-cluster model and explore a range of useful probabilistic techniques for studying it. The space-time Potts model emerges as a natural generalization of the quantum Ising model. The basic properties of the phase transitions in these models are treated, such as the fact that there is at most one unbounded FK-cluster, and the resulting lower bound on the critical value in $\ZZ$. We also develop an alternative graphical representation of the quantum Ising model, called the random-parity representation. This representation is based on the random-current representation of the classical Ising model, and allows us to study in much greater detail the phase transition and critical behaviour. The random-parity representation is used to prove sharpness of the phase transition in the quantum Ising model, and to establish bounds on some critical exponents. We address these issues by using the random-parity representation to establish certain differential inequalities, integration of which give the results. Finally we explore some consequences and possible extensions of the results mentioned. For example, we determine the critical point for the quantum Ising model in $\ZZ$ and in `star-like' geometries.

研究动机与目标

• 为横向场量子伊辛模型开发一种新的图形表示——随机自旋表示，以分析其相变行为。
• 将随机簇框架扩展至时空模型，实现对量子和动力系统随机分析的支持。
• 证明量子伊辛模型相变的锐利性，这是量子统计力学中的一个核心开放问题。
• 利用新表示和概率技术，确定一维和星形几何结构中量子伊辛模型的临界点。

提出的方法

• 将时空随机簇模型引入为经典随机簇模型在连续时空中的推广。
• 基于随机电流形式，发展随机自旋表示，通过边集上的带符号测度编码量子伊辛关联。
• 应用切换引理，将图形表示中的连通性与量子伊辛模型中的关联函数联系起来。
• 利用随机自旋框架推导关联函数的微分不等式，通过积分获得相变锐利性的结果。
• 运用随机比较和FKG型不等式，分析在各种边界条件下时空波茨与伊辛模型。
• 应用紧致性与Skorokhod度量论证，证明有限体积测度收敛至无限体积极限。

实验结果

研究问题

• RQ1 量子伊辛模型是否如物理直觉所预测的那样表现出锐利相变，但尚未得到严格证明？
• RQ2 在一维和星形图中，量子伊辛模型的临界点是多少？其与底层图形结构有何关系？
• RQ3 如何将随机电流表示适应至量子设定，以获得能捕捉量子关联的随机自旋表示？
• RQ4 时空波茨模型的相变特性是什么？其与底层随机过程有何关联？
• RQ5 时空随机簇测度的无限体积极限是否唯一定义？其关键性质为何？

主要发现

• 本文通过随机自旋表示导出的微分不等式，证明了量子伊辛模型相变的锐利性。
• 在一维空间中建立了临界值的下界，表明临界点严格为正。
• 在一维和星形几何结构中，量子伊辛模型的临界点被显式确定，证实了预期行为。
• 时空随机簇模型最多存在一个无界fk簇，这是相变分析的关键结构特性。
• 随机自旋表示允许通过积分微分不等式，严格推导临界指数的界限。
• 在弱拓扑下建立了有限体积测度收敛至无限体积极限，支持热力学极限的存在性。