[论文解读] Graphs and complexes of lattices

Sam Hughes|arXiv (Cornell University)|Apr 28, 2021

Geometric and Algebraic Topology参考文献 35被引用 7

一句话总结

本文引入图和格的复合体作为组合框架，用于研究作用在 CAT(0) 空间乘积上的均匀与非均匀格，特别是 $\mathrm{Isom}(\mathbb{E}^n)\times T$ 和右角建筑物的乘积。它建立了一个结构定理，表明此类格可分解为 $H$-格的图；通过 $C^*$-单纯性刻画了不可约均匀 $(\mathrm{Isom}(\mathbb{E}^n)\times T)$-格；并在这些乘积中构造了非剩余有限且非双自动的格。

ABSTRACT

We study lattices acting on $\mathrm{CAT}(0)$ spaces via their commensurated subgroups. To do this we introduce the notions of a graph of lattices and a complex of lattices giving graph and complex of group splittings of $\mathrm{CAT}(0)$ lattices. Using this framework we characterise irreducible uniform $(\mathrm{Isom}(\mathbb{E}^n) imes T)$-lattices by $C^\ast$-simplicity and give a necessary condition for lattices in products with a Euclidean factor to be biautomatic. We also construct non-residually finite uniform lattices acting on arbitrary products of right-angled buildings and non-biautomatic lattices acting on the product of $\mathbb{E}^n$ and a right-angled building.

研究动机与目标

• 开发用于研究不可约 CAT(0) 空间乘积中格的组合框架，特别是包含欧氏因子的情况。
• 通过 $C^*$-单纯性代数刻画 $\mathrm{Isom}(\mathbb{E}^n)\times T$ 中不可约均匀格。
• 提供图的 $H$-格生成 $(H\times T)$-格的必要与充分条件。
• 在 $\mathbb{E}^n$ 与右角建筑物的乘积中构造非剩余有限且非双自动的格。
• 通过将树替换为更高维的 CAT(0) 多面复形，将理论推广至格的复合体。

提出的方法

• 引入图的格的概念，即局部群为与 $H$-格共轭的有限扩张的图群，且存在映射至 $H$。
• 使用 Bass-Serre 理论，以单模、非离散、局部有限的树 $\mathcal{T}$ 作为底层 Bass-Serre 树。
• 应用结构定理（定理 3.3），表明在局部作用核的行动满足忠实性与收敛性条件时，均匀 $(H\times T)$-格可由有限图的均匀 $H$-格构造。
• 使用 Thomas 的函子将格从树的乘积提升至右角建筑物的乘积，同时保持不可约性与非剩余有限性。
• 利用 $\mathrm{Isom}(X)$ 与 $X$ 到不可约因子（欧氏空间、对称空间、极小 CAT(0) 空间）的分解，将格的研究归约为其因子分量。
• 应用 $C^*$-单纯性判别准则，刻画 $\mathrm{Isom}(\mathbb{E}^n)\times T$ 中不可约均匀格。

实验结果

研究问题

• RQ1 何时一个代数不可约的均匀 $(\mathrm{Isom}(\mathbb{E}^n)\times T)$-格是 $C^*$-单纯？
• RQ2 何种条件可确保图的 $H$-格生成 $(H\times T)$-格？
• RQ3 能否在 $\mathbb{E}^n$ 与右角建筑物的乘积中构造非剩余有限且非双自动的格？
• RQ4 作用在树上的核的性质如何影响整体格结构？
• RQ5 Leary-Minasyan 群 $\mathrm{LM}(A)$ 的 $C^*$-单纯性是否由矩阵 $A$ 决定？

主要发现

• 每个均匀 $(H\times T)$-格均可表示为有限图的均匀 $H$-格，其中 $\mathcal{T}$ 为单模、非离散、局部有限的 Bass-Serre 树，前提是局部作用在 $\mathcal{T}$ 上的核作用忠实。
• 图的 $H$-格生成 $(H\times T)$-格当且仅当 $\sum_{\sigma\in VA} \mu(A_\sigma)/|K_\sigma|$ 收敛，其中 $K_\sigma$ 为作用在 $\mathcal{T}$ 上的核。
• 图的 $H$-格的基本群 $\Gamma$ 与 $X\times\mathcal{T}$ 具有拟等距，其中 $X$ 为 $\mathrm{CAT}(0)$ 空间，$\mathcal{T}$ 为 Bass-Serre 树。
• 在满足 (T1) 与 (T2) 的右角建筑物的自同构群 $A$ 下，$\mathrm{Isom}(\mathbb{E}^n)\times A$ 中存在非剩余有限且代数不可约的格，通过反复应用 Thomas 的函子构造。
• 对于此类 $A$，$\mathrm{Isom}(\mathbb{E}^n)\times A$ 中存在非双自动格，通过从树的乘积中的非双自动格构造出具体例子加以证明。
• 作用在五边形建筑物上的核 $\Delta$ 无挠，且由此产生的格为非剩余有限，且在两个因子上的投影均非离散。