[论文解读] Graphs and unicyclic graphs with extremal number of connected induced subgraphs

Audace A. V. Dossou-Olory|arXiv (Cornell University)|Dec 6, 2018

Graph theory and applications参考文献 26被引用 4

一句话总结

本文刻画了使连通诱导子图数量极值化的连通图与单环图。证明了路径图在所有 $k$-顶点连通诱导子图中唯一最小化该数量，而最大值由从完全图中移除最多 $ n/2$ 条独立边的图实现。结果揭示了一种类对偶性：最小化连通诱导子图数量的图最大化 Wiener 指数，反之亦然。

ABSTRACT

Over all graphs (or unicyclic graphs) of a given order, we characterise those graphs that minimise or maximise the number of connected induced subgraphs. For each of these classes, we find that the graphs that minimise the number of connected induced subgraphs coincide with those that are known to maximise the Wiener index (the sum of the distances between all unordered pairs of vertices), and vice versa. For every $k$, we also determine the connected graphs that are extremal with respect to the number of $k$-vertex connected induced subgraphs. We show that, in contrast to the minimum which is uniquely realised by the path, the maximum value is attained by a rich class of connected graphs.

研究动机与目标

• 确定阶为 $n$ 的连通图中，使连通诱导子图数量最小或最大的图。
• 将树的极值结果推广至一般连通图与单环图。
• 刻画所有 $k \in \{3,4,\dots,n-1\}$ 下 $k$-顶点连通诱导子图的极值结构。
• 探讨连通诱导子图数量极值与 Wiener 指数（所有点对距离之和）之间的对偶性。
• 将极值结果推广至具有 $r$ 个连通分量的图。

提出的方法

• 使用图的结构变换比较图之间诱导子图数量，特别是用星图替换子树以增加诱导子图数量。
• 应用树中子树计数的已知结果，尤其是关于路径图与星图极值性的定理 1。
• 采用类似生成函数的推理与递归计数方法，计算单环图中诱导子图的数量。
• 使用反证法与变换：将非星图子树替换为星图可增加连通诱导子图的数量。
• 使用公式 $N(G; S) = N(T_0) + N(T_2) + N(T_0)_{v_0}N(T_1)_{v_1} + N(T_2)_{v_2}N(T_1)_{v_1} + N(T_0)_{v_0}N(T_2)_{v_2}(1 + N(T_1)_{v_1})$ 计算修改后图中的子图数量。
• 利用命题 11 与定理 1 比较结构变化后的子图数量，证明子图数量净增加。

实验结果

研究问题

• RQ1 阶为 $n$ 的哪些连通图使连通诱导子图数量最小？最小值是多少？
• RQ2 阶为 $n$ 的哪些连通图使连通诱导子图数量最大？最大值是多少？
• RQ3 对每个 $k \in \{3,4,\dots,n-1\}$，阶为 $n$ 的哪些连通图使 $k$-顶点连通诱导子图数量极值化？
• RQ4 连通诱导子图的极值图与最大化 Wiener 指数的图之间有何关系？
• RQ5 阶 $n > 5$ 的单环图中，哪些图使连通诱导子图数量极值化？

主要发现

• 在所有阶为 $n$ 的连通图中，路径图唯一最小化连通诱导子图数量，其数量为 $\binom{n+1}{2}$。
• 对每个 $k \in \{3,4,\dots,n-1\}$，$n$-顶点路径图唯一最小化 $k$-顶点连通诱导子图的数量。
• 在阶为 $n$ 的连通图中，$k$-顶点连通诱导子图数量的最大值由从完全图 $K_n$ 中移除 $l \leq \lfloor n/2 \rfloor$ 条独立边所得的所有图实现。
• 在阶 $n > 5$ 的单环图中，长尾图 $G_{3,n-3}$ 唯一最小化连通诱导子图数量。
• 在阶 $n > 5$ 的单环图中，通过在 $n$-顶点星图的两个叶子之间添加一条边所形成的图，唯一最大化连通诱导子图数量。
• 存在一种对偶性：最小化连通诱导子图数量的图最大化 Wiener 指数，反之亦然，该结论适用于所有研究的图族。