[论文解读] Graphs of bounded cliquewidth are polynomially $χ$-bounded

Marthe Bonamy, Michał Pilipczuk|arXiv (Cornell University)|Oct 1, 2019

Advanced Graph Theory Research参考文献 15被引用 4

一句话总结

本文证明了有界 cliquewidth 的图是多项式 χ-有界的，即其色数由其团数的多项式函数有界。作者建立了一个通用框架，表明若一个遗传图类是多项式 χ-有界的，则沿有界秩割分解为该类中部分的图类也是多项式 χ-有界的，这直接推出了所有 cliquewidth-k 图的多项式 χ-有界性。

ABSTRACT

We prove that if $\mathcal{C}$ is a hereditary class of graphs that is polynomially $χ$-bounded, then the class of graphs that admit decompositions into pieces belonging to $\mathcal{C}$ along cuts of bounded rank is also polynomially $χ$-bounded. In particular, this implies that for every positive integer $k$, the class of graphs of cliquewidth at most $k$ is polynomially $χ$-bounded.

研究动机与目标

• 建立有界 cliquewidth 图的多项式 χ-有界性，这是结构图论中长期悬而未决的开放问题。
• 将已知的遗传图类 χ-有界性推广到通过受控分解构建的更复杂的图类。
• 提供一种通用方法，确保在某些图分解操作下保持多项式 χ-有界性。
• 解决 cliquewidth-有界类中 χ-有界函数的渐近紧致性，表明在此背景下多项式界是最优的。

提出的方法

• 作者引入一个通用的封闭性质：若一个遗传图类 C 是多项式 χ-有界的，则沿有界秩割由 C 控制的图分解所构成的类也是多项式 χ-有界的。
• 他们将割的“多样性”定义为两部分之间不同邻域的数量，并利用它来控制分解的复杂度。
• 证明利用了结构分解定理和在分解树上的归纳染色论证，确保色数随团数的多项式增长。
• 该方法推广了 Dvořák 和 Král’ 关于 χ-有界性的早期结果，通过细化着色在分解中传播的分析，将其升级为多项式界。
• 该框架被应用于证明对于每个固定的 k，cliquewidth 至多为 k 的图是多项式 χ-有界的。
• 该方法依赖于有界 cliquewidth 与有界 rankwidth 之间的等价性，从而可使用基于秩的分解技术。

实验结果

研究问题

• RQ1 有界 cliquewidth 图的 χ-有界性能否被强化为多项式 χ-有界性？
• RQ2 对于所有遗传类，多项式 χ-有界性在 C-控制的分解沿有界秩割下是否具有封闭性？
• RQ3 cliquewidth-k 图的 χ-有界函数对团数的多项式依赖关系是否紧致？
• RQ4 该框架能否用于推导出由顶点最小化排除定义的其他图类的多项式 χ-有界性？
• RQ5 cliquewidth 为 k 的图的多项式 χ-有界函数的最小次数是多少，它是否随 k 增大而增长？

主要发现

• 对于每个固定的 k ∈ ℕ，cliquewidth 至多为 k 的图类是多项式 χ-有界的，解决了 χ-有界性理论中的一个开放问题。
• cliquewidth-k 图的多项式 χ-有界函数的次数随 k 增大而增长，且这种增长是不可避免的，如引理 5.2 所示。
• 通用框架证明了：若一个遗传类 C 是多项式 χ-有界的，则沿有界秩割分解为 C 部分的图类也是多项式 χ-有界的。
• 该结果意味着 W₅-顶点最小化自由图是多项式 χ-有界的，扩展了早期仅证明 χ-有界的成果。
• 该框架统一并强化了先前的结果，包括 Dvořák 和 Král’ 关于 χ-有界性的研究，以及 Kim 等人关于 Cₗ-顶点最小化自由图的多项式 χ-有界性研究。
• 该工作支持了如下猜想：所有 H-顶点最小化自由图类都是多项式 χ-有界的，特别是当 H 是一个圈图时，这得到了 Geelen 等人近期结果的支持。