[论文解读] Graphs of Hecke operators

Oliver Lorscheid|arXiv (Cornell University)|Dec 16, 2010

Advanced Algebra and Geometry参考文献 5被引用 3

一句话总结

本文提出了一种关于函数域上Hecke算子的新型图论框架，通过统一无分歧自守形式与约化理论，以图的形式建模其作用。研究证明，这些图可分解为有限核与有限个尖点，从而通过图函数上的线性条件，为无分歧尖点形式与托里科德自守形式的有限维性提供了新证明。

ABSTRACT

Let $X$ be a curve over $\F_q$ with function field $F$. In this paper, we define a graph for each Hecke operator with fixed ramification. A priori, these graphs can be seen as a convenient language to organize formulas for the action of Hecke operators on automorphic forms. However, they will prove to be a powerful tool for explicit calculations and proofs of finite dimensionality results. We develop a structure theory for certain graphs $G_x$ of unramified Hecke operators, which is of a similar vein to Serre's theory of quotients of Bruhat Tits trees. To be precise, $G_x$ is locally a quotient of a Bruhat Tits tree and has finitely many components. An interpretation of $G_x$ in terms of rank 2 bundles on $X$ and methods from reduction theory show that $G_x$ is the union of finitely many cusps, which are infinite subgraphs of a simple nature, and a nucleus, which is a finite subgraph that depends heavily on the arithmetics of $F$. We describe how one recovers unramified automorphic forms as functions on the graphs $G_x$. In the exemplary cases of the cuspidal and the toroidal condition, we show how a linear condition on functions on $G_x$ leads to a finite dimensionality result. In particular, we re-obtain the finite-dimensionality of the space of unramified cusp forms and the space of unramified toroidal automorphic forms. In an Appendix, we calculate a variety of examples of graphs over rational function fields.

研究动机与目标

• 为函数域上的Hecke算子发展一个全局几何框架，克服在类数为偶数或存在偶数次幂位置时强逼近失效的局限。
• 为无分歧Hecke算子在自守形式上的作用提供一个组合模型——Hecke算子的图。
• 建立此类图的结构理论，类比Serre对Bruhat-Tits树商图的理论。
• 通过图函数上的线性条件，证明无分歧尖点形式与托里科德自守形式空间的有限维性。
• 将图结构与曲线X上的秩-2向量丛及约化理论联系起来。

提出的方法

• 为每个在位置x处的无分歧Hecke算子定义一个图$\mathcal{G}_x$，其顶点对应于双陪集$\Gamma \backslash \mathrm{PGL}_2(F_x)/\mathrm{PGL}_2(\mathcal{O}_x)$。
• 基于Bruhat-Tits树$\mathcal{T}_x$中的邻接关系，利用稳定化子与陪集代表元构造边。
• 利用X上秩-2向量丛的约化理论，从几何上解释图的结构。
• 通过顶点标记映射对顶点进行标记，将图的分量与理想类及F的算术联系起来。
• 将$\mathcal{G}_x$分解为一个依赖于算术的有限核与有限个几何上简单的无限尖点。
• 将自守形式建模为$\mathcal{G}_x$上的函数，Hecke算子通过邻接和作用。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在局部p进框架之外，以几何方式表示全球函数域上自守形式的Hecke算子？
• RQ2 与无分歧Hecke算子相关的图的全局结构是什么？它如何与函数域的算术相关？
• RQ3 能否利用此图论模型重新推导出无分歧尖点形式空间的有限维性？
• RQ4 图的组成部分——核与尖点——如何反映底层曲线与函数域的几何与算术？
• RQ5 对图上函数施加线性条件，在多大程度上能恢复已知的自守形式空间？

主要发现

• 无分歧Hecke算子的图$\mathcal{G}_x$在局部上是Bruhat-Tits树的商图，且连通分量有限。
• 图$\mathcal{G}_x$可分解为一个编码函数域$F$算术的有限核，以及有限个同构于射线的无限尖点。
• 无分歧自守形式被实现为满足由Hecke算子作用导出的线性条件的$\mathcal{G}_x$上的函数。
• 通过在尖点处施加消失条件，恢复了无分歧尖点形式空间的有限维性，从而得到有限维解空间。
• 通过图函数上的线性条件（类比于尖点条件），获得了无分歧托里科德自守形式空间的有限维性。
• 该理论适用于任意全局函数域，包括类数为偶数或存在偶数次幂位置的情况，克服了强逼近的局限。