[论文解读] Graphs whose Eulerian trails have unique labels

Donggyu Kim, Rose McCarty+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2026

Advanced Graph Theory Research被引用 0

一句话总结

本文给出在群标记的无向图中，所有从固定顶点对到的欧拉轨迹具有相同标签的结构与算法刻画；具体而言，3-边连通部分以 Z2^k 进行标记，并存在一个利用词问题查询的多项式时间算法。

ABSTRACT

Consider an undirected graph whose edges are labeled invertibly in a group. When does every Eulerian trail from one fixed vertex to another have the same label? We give a precise structural answer to this question. Essentially, we show that each ``$3$-connected part'' is labeled over a group which is isomorphic to $\mathbb{Z}_2^k$ for some $k$. We also show that the algorithmic problem admits a polynomial-time reduction to the word problem for the group.

研究动机与目标

• 理解在群标记图中，从 a 到 b 的每条欧拉轨道具有相同标签的条件。
• 提供将结构分解为以 Z2^k 标记的 3-边连通分量的结构化表现。
• 将理论与利用词问题查询的高效算法结合起来。
• 探讨将结果推广至非阿贝尔群以及 Z2^k 情况之外的局限性。

提出的方法

• 建立结构定理：在平移后，标号相同的欧拉轨迹当且仅当 3-边连通分量被标记为同构于 Z2^k 的群。
• 在阿贝尔情形通过直接论证证明生成的群在适当平移下为 Z2^k。
• 对 3-边连通情形给出详细的归纳论证与边分裂技术（引理 2.3，命题 3.1）。
• 通过将图分解为核（3-核）并化归到核有效实例来扩展到一般图（定理 4.3）。
• 给出一个算法性过程，用于判定从 a 到 b 的所有欧拉回路是否具有相同标签，并在存在差异标签时找到它们（定理 1.2）。

实验结果

研究问题

• RQ1 在群标记图中，从 a 到 b 的所有欧拉轨迹何时具有相同标签？
• RQ2 3-边连通分量的标记对标记性质施加了怎样的结构约束？
• RQ3 在平移后，是否可以将该条件归约为对有限阿贝尔群如 Z2^k 的标记？
• RQ4 给定一个词问题查询，判定具有相同标签的欧拉轨迹的复杂度是多少？

主要发现

• 一个精确的结构等价：从 a 到 b 的所有欧拉轨迹具有相同标签，当且仅当平移后，每个 3-边连通部分被标记为与 Z2^k 同构的群。
• 在阿贝尔情形，这意味着整个图被标记为 Z2^k。
• 主算法的时间复杂度为 O(m^2)·φ(12m) 来判定该性质，其中 φ(n) 为词问题查询时间；若存在不同标签的两条轨道，则可在 O(m^4)·φ(12m) 时间内找到它们。
• 结果扩展到将图分解为核的处理，使非 3-边连通图的实际处理成为可能。
• 若存在一个大于 2 的有序回路，则存在两条从 a 到 b 具有不同标签的欧拉轨迹。