[论文解读] Graphs with maximum degree D at least 17 and maximum average degree less than 3 are list 2-distance (D+2)-colorable

Marthe Bonamy, Benjamin Lévêque+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2013

Advanced Graph Theory Research参考文献 11被引用 3

一句话总结

该论文证明了最大度 Δ ≥ 17 且最大平均度小于 3 的图是列表 2-距离 (Δ+2)-可染色的，改进了此前针对围长至少为 6 的平面图的结果。证明采用了一种基于 Brooks 引理的新型放电方法，以建立结构性质，从而确保在列表约束下使用 Δ+2 种颜色时具有可染色性。

ABSTRACT

For graphs of bounded maximum average degree, we consider the problem of 2-distance coloring. This is the problem of coloring the vertices while ensuring that two vertices that are adjacent or have a common neighbor receive different colors. It is already known that planar graphs of girth at least 6 and of maximum degree D are list 2-distance (D+2)-colorable when D>=24 (Borodin and Ivanova (2009)) and 2-distance (D+2)-colorable when D>=18 (Borodin and Ivanova (2009)). We prove here that D>=17 suffices in both cases. More generally, we show that graphs with maximum average degree less than 3 and D>=17 are list 2-distance (D+2)-colorable. The proof can be transposed to list injective (D+1)-coloring.

研究动机与目标

• 确定确保稀疏图具有列表 2-距离 (Δ+2)-可染色性的最小最大度 Δ。
• 将已知的围长 ≥6 的平面图 2-距离可染色性结果扩展至由最大平均度 (mad) < 3 定义的更广泛图类。
• 将列表 2-距离 (Δ+2)-可染色性的阈值从 Δ≥18 或 Δ≥24 降低至 Δ≥17。
• 证明 Brooks 引理可有效用于图着色问题的全局放电论证中。

提出的方法

• 对满足 mad(G) < 3 且 Δ(G) ≥ 17 的图应用放电方法，基于顶点度数分配初始权重。
• 通过放电规则 (R1.i, R2, R3, R4, Rg) 重新分配权重，以证明每个顶点最终权重至少为 3，从而推出 mad(G) ≥ 3。
• 通过假设存在一个最小反例 G 满足 Δ(G) ≤ k 且不存在列表 2-距离 (k+2)-着色，导出矛盾，从而得出 mad(G) ≥ 3。
• 利用 Brooks 引理在最小反例中建立全局类仙人掌结构，从而获得更强的结构约束。
• 将证明方法调整，以表明在相同条件下，列表单射 (Δ+1)-着色也是可能的。
• 将论证从平面图推广至更一般的图类，即满足 mad(G) < 3 的图，从而推广了先前的结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 Δ ≥ 17 是否足以保证最大平均度 <3 的图具有列表 2-距离 (Δ+2)-可染色性？
• RQ2 在放电框架中使用 Brooks 引理是否能为 2-距离着色问题得出更强的结构结论？
• RQ3 针对围长 ≥6 的平面图的列表 2-距离 (Δ+2)-可染色性结果是否可推广至满足 mad(G) < 3 的图类？
• RQ4 对于满足 mad(G) < 3 的图，其最大度 Δ 的最大值是多少，使得图不具有 (Δ+2)-列表 2-距离可染色性？
• RQ5 该方法是否可直接调整以证明在相同条件下图也具有列表单射 (Δ+1)-可染色性？

主要发现

• 最大度 Δ ≥ 17 且最大平均度小于 3 的图是列表 2-距离 (Δ+2)-可染色的。
• 该阈值 Δ ≥ 17 改进了先前结果中要求 Δ ≥ 18 或 Δ ≥ 24 的条件。
• 证明表明最小反例必须满足 mad(G) ≥ 3，与假设 mad(G) < 3 矛盾。
• 使用 Brooks 引理使全局结构分析成为可能，揭示了最小反例中存在类仙人掌的树状结构。
• 该方法可直接推广，以证明此类图也具有列表单射 (Δ+1)-可染色性。
• 该结果将已知的围长至少为 6 的平面图 2-距离可染色性结果推广至由 mad(G) < 3 定义的更广泛稀疏图族。