[论文解读] Gravitational anomaly of 3+1 dimensional Z_2 toric code with fermionic charges and fermionic loop self-statistics

Lukasz Fidkowski, Jeongwan Haah+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 27, 2021

Quantum Chromodynamics and Particle Interactions被引用 6

一句话总结

本文引入一种新的拓扑不变量——环自统计 μ = ±1，用于区分具有费米子荷的两种 3+1 维 Z₂ 能晶格模型：传统的 FcBl 相（μ = 1）与一种新型的 FcFl 相（μ = -1），后者表现出引力异常。该研究通过精确可解模型及利用膜算符与拓扑弦过程显式计算 μ，证实 FcFl 相为异常相，仅能实现于非平凡 4+1 维可逆相的边界上。

ABSTRACT

Quasiparticle excitations in $3+1$ dimensions can be either bosons or fermions. In this work, we introduce the notion of fermionic loop excitations in $3+1$ dimensional topological phases. Specifically, we construct a new many-body lattice invariant of gapped Hamiltonians, the loop self-statistics, that distinguishes two bosonic topological orders that both superficially resemble $3+1$ d ${\mathbb{Z}}_2$ gauge theory coupled to fermionic charged matter. The first has fermionic charges and bosonic ${\mathbb{Z}}_2$ gauge flux loops (FcBl) and is just the ordinary fermionic toric code. The second has fermionic charges and fermionic loops (FcFl), and, as we argue, can only exist at the boundary of a non-trivial 4+1d invertible bosonic phase, stable without any symmetries, i.e. it possesses a gravitational anomaly. We substantiate these claims by constructing an explicit exactly solvable $4+1$ d Walker-Wang model and computing the loop self-statistics in the fermionic ${\mathbb{Z}}_2$ gauge theory hosted at its boundary. We also show that the FcFl phase has the same gravitational anomaly as all-fermion quantum electrodynamics. Our results are in agreement with the recent classification of nondegenerate braided fusion 2-categories by Johnson-Freyd, and with the cobordism prediction of a non-trivial ${\mathbb{Z}}_2$ classified $4+1$ d invertible phase with action $S=\frac{1}{2} \int w_2 w_3$.

研究动机与目标

• 为 3+1 维费米子 Z₂ gauge 理论中的拓扑序定义一种新的多体格点不变量——环自统计 μ，用于区分不同拓扑序。
• 解决两种 Z₂ 能晶格模型之间的模糊性：一种具有玻色子环（FcBl），另一种具有费米子环（FcFl）。
• 证明 FcFl 相为异常相，无法作为独立的 3+1D 系统存在，而仅能作为非平凡 4+1D 可逆相的边界实现。
• 通过 Walker-Wang 类型的自举构造方法，构建一个精确可解的 4+1D 模型，使 FcFl 相在边界上实现。
• 表明 FcFl 相与全费米子量子电动力学（all-fermion quantum electrodynamics）具有相同的引力异常，从而与 cobordism 及 braided fusion 2-category 分类框架保持一致。

提出的方法

• 通过在 3+1D 中采用类似 T 接头的流程，利用膜算符编织环构型并测量其自统计，定义环自统计 μ。
• 通过将边界理论自举为体哈密顿量，类比 Walker-Wang 构造，构建一个 4+1D 精确可解模型。
• 使用费米子弦算符与膜算符探测边界理论中环激发的统计性质。
• 通过追踪环在时空闭合路径上绝热旋转时获得的相位，计算 μ，同时仔细抵消非普适相位。
• 证明 μ 仅在规范荷为费米子时定义良好，且 μ = -1 表明存在引力异常。
• 证明在费米子荷条件下，μ 与辅助选择（如 M_ij、|c⟩ 基）无关，确保其拓扑鲁棒性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过一种新的拓扑不变量来区分 3+1D 中具有费米子荷但不同环统计性质的两种 Z₂ 能晶格模型？
• RQ2 FcFl 相（费米子荷与费米子环）是否为异常相，且仅能作为 4+1D 可逆相的边界实现？
• RQ3 在费米子 Z₂ gauge 理论中，μ = +1（FcBl）与 μ = -1（FcFl）之间存在何种精确的物理机制差异？
• RQ4 能否构建一个精确可解的 4+1D 模型，使其边界实现具有 μ = -1 的 FcFl 相？
• RQ5 FcFl 相是否与全费米子 QED 具有相同的引力异常，如 cobordism 与 braided fusion 2-category 分类框架所预测？

主要发现

• 环自统计 μ = ±1 是 3+1D Z₂ gauge 理论中具有费米子荷的稳健不变量，可明确区分 FcBl（μ = 1）与 FcFl（μ = -1）。
• FcFl 相被证明具有引力异常，无法作为独立的 3+1D 系统存在，而仅能作为非平凡 4+1D 可逆相的边界实现。
• 通过自举方法构建了一个精确可解的 4+1D 模型，使 FcFl 相在边界上实现，显式计算确认 μ = -1。
• FcFl 相与全费米子量子电动力学具有相同的引力异常，证实其与拓扑分类框架的一致性。
• 当规范荷为费米子时，环自统计 μ 与辅助选择（M_ij、|c⟩ 基）无关，确保其拓扑不变性。
• FcFl 相拥有一个独特的脱禁闭费米子点激发，其余任意子均为束缚或任意任何子，确认其非平凡拓扑序。