[论文解读] Gravitational energy as Noether charge

Sean A. Hayward|ArXiv.org|Apr 13, 2000

Earth Systems and Cosmic Evolution被引用 5

一句话总结

本文通过在微分同胚不变理论的变分作用量边界项中应用诺特定理，提出了一种准局域引力能量定义。该能量作为与时间向量场相关的诺特荷出现，在相应对称情形下恢复了标准能量（邦迪、科马尔、米斯纳-夏普）形式，并建立了类比于量子理论的经典能量-时间对偶性。

ABSTRACT

A definition of gravitational energy is proposed for any theory described by a diffeomorphism-invariant Lagrangian. The mathematical structure is a Noether- current construction of Wald involving the boundary term in the action, but here it is argued that the physical interpretation of current conservation is conservation of energy. This leads to a quasi-local energy defined for compact spatial surfaces. The energy also depends on a vector generating a flow of time. Angular momentum may be similarly defined, depending on a choice of axial vector. For Einstein gravity: for the usual vector generating asymptotic time translations, the energy is the Bondi energy; for a stationary Killing vector, the energy is the Komar energy; in spherical symmetry, for the Kodama vector, the energy is the Misner-Sharp energy. In general, the lack of a preferred time indicates the lack of a preferred energy, reminiscent of the energy-time duality of quantum theory.

研究动机与目标

• 解决广义相对论及相关理论中引力能量定义长期存在的概念性难题。
• 提供一种物理上有意义的准局域能量定义，避免因等效原理导致的局部能量密度限制。
• 基于诺特定理，将已知的能量定义（邦迪、科马尔、米斯纳-夏普）统一于同一框架之下。
• 阐明时间平移对称性在能量定义中的作用，将经典引力与量子理论中的能量-时间对偶性联系起来。
• 证明总能量包含引力与物质场的贡献，如在雷士纳-诺德斯特伦解中所示。

提出的方法

• 将沃尔德形式化的诺特电流构造方法应用于微分同胚不变拉格朗日量变分中的边界项。
• 推导出诺特电流 J = Θ(φ, £ξφ) − ξ·L，其中 Θ 为作用量变分中的辛势。
• 在场方程成立时，通过 J = dQ 确定诺特荷 Q，并将其解释为守恒能量。
• 引入一个生成时间的向量场 ξ 以定义时间流，从而通过 Q 定义能量。
• 将该方法应用于爱因斯坦引力与物质场（克莱因-戈尔登、麦克斯韦），计算能量密度与总荷的显式表达式。
• 通过恢复已知能量形式验证该方法：在渐近平坦时空下，ξ 生成无穷远处的时间平移时，能量退化为邦迪能量（包含引力波通量）；在静态时空下，ξ 为驻定的基灵矢量时，能量与科马尔能量一致；在球对称情形下，使用科达马矢量作为 ξ 时，能量即为米斯纳-夏普能量。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否从微分同胚不变理论的作用量变分边界项中，推导出一致且准局域的引力能量定义？
• RQ2 基于边界项的诺特荷构造与物理能量守恒之间有何关系？
• RQ3 所提出的能量定义是否能在对称时空下恢复已知的能量形式（如邦迪、科马尔、米斯纳-夏普）？
• RQ4 时间生成向量的选择在引力能量定义中起何作用？
• RQ5 当引力与物质场被同等对待时，物质场如何对总能量产生贡献？

主要发现

• 与时间向量场 ξ 相关的诺特荷可给出在紧致空间面上的准局域能量积分，解决了引力能量密度非局域的问题。
• 在具有 ξ 于无穷远处生成时间平移的渐近平坦时空下，能量退化为邦迪能量，其包含引力波通量。
• 在具有基灵矢量 ξ 的静态时空下，能量与科马尔能量一致，证实了与已有定义的一致性。
• 在球对称情形下，使用科达马矢量作为 ξ 时，能量即为米斯纳-夏普能量，表明该方法适用于动力学球对称时空。
• 在雷士纳-诺德斯特伦解中，总能量为爱因斯坦与麦克斯韦贡献之和（E_E + E_M = m），表明必须将物质与引力能量合并才能恢复正确质量。
• 缺乏首选时间向量意味着不存在唯一的引力能量，这反映了量子理论中能量-时间不确定性原理的经典类比。