[论文解读] Gravitational Higgs Mechanism with a Topological Term

Ichiro Oda|ArXiv.org|Sep 17, 2007

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 9被引用 14

一句话总结

本文通过为标量场引入一种类似Polyakov的作用量，将't Hooft的引力希格斯机制推广为拓扑形式，自然导出由标量场构造的另一种度量张量。要求附加项为拓扑项——具体为卷绕数——可导致雅可比行列式∂μϕᵃ的行列式满足正定性条件，从而唯一选择单位卷绕数扇区，因此合理化了't Hooft的规范固定条件，并在经典层面解决了标量场的非幺正性问题。

ABSTRACT

We investigate the Higgs mechanism for gravity, which has been recently put forward by 't Hooft, when the Polyakov-type action for scalar fields is added to the original action. We find that from the Polyakov-type action, it is very natural to derive an 'alternative' metric tensor composed of the scalar fields. The positivity condition on the determinant can be also derived easily by requiring that this term does not change the dynamics at all and becomes a topological number, that is, the wrapping number. It turns out that the gauge conditions adopted by 't Hooft are nothing but the restriction on a sector with unit wrapping number.

研究动机与目标

• 研究拓扑项在't Hooft引力希格斯机制中对引力的作用。
• 从标量场的Polyakov型作用量推导出另一种度量张量。
• 表明雅可比行列式∂μϕᵃ的行列式正定性条件可自然地从该项为拓扑项的要求中导出。
• 将't Hooft的规范固定条件解释为选择单位卷绕数扇区。
• 通过拓扑方式将约束嵌入作用量，从而在经典层面消除引力希格斯机制中标量场的非幺正性问题。

提出的方法

• 引入一个涉及标量场行列式和宇宙学常数ΛP的Polyakov型作用量$ S_P $。
• 对辅助度量$ g^{\mu\nu}_{\phi} $变分，推导出固定$ g^{\mu\nu}_{\phi} = \frac{T}{\Lambda_P} \partial^\mu \phi^a \partial^\nu \phi^a $的运动方程。
• 施加条件$ \det_{\mu,a} \partial_\mu \phi^a > 0 $以消除符号歧义，并确保拓扑不变性。
• 证明$ S_P $约化为一个拓扑不变量：$ S_P = -\Lambda_P \int d^4x \, \varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma} \partial_\mu \phi^1 \partial_\nu \phi^2 \partial_\rho \phi^3 \partial_\sigma \phi^4 $，即卷绕数。
• 证明规范条件$ \phi^\mu = m x^\mu $对应于单位卷绕数，从而解释其在't Hooft模型中的合理性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在不改变动力学的前提下，一致地将拓扑项引入引力希格斯机制？
• RQ2 在此背景下，行列式$ \det_{\mu,a} \partial_\mu \phi^a > 0 $的物理与数学意义是什么？
• RQ3 为何't Hooft的规范固定条件$ \phi^\mu = m x^\mu $在此框架中自然出现？
• RQ4 是否可以通过拓扑约束而非人为的规范固定，来消除引力希格斯机制中非幺正标量场的问题？
• RQ5 是否能通过Polyakov作用量从第一原理推导出替代度量张量$ g^{\mu\nu}_{\phi} $？

主要发现

• Polyakov型作用量自然导出由标量场$ \phi^a $构造的替代度量张量$ g^{\mu\nu}_{\phi} $，其通过雅可比行列式$ \partial_\mu \phi^a $定义。
• 正定性条件$ \det_{\mu,a} \partial_\mu \phi^a > 0 $作为作用量$ S_P $为拓扑项且非动力学项的必要条件自然出现。
• 作用量$ S_P $约化为与卷绕数$ \Pi_3(S^3) = \mathbb{Z} $成正比的拓扑不变量，具体为$ S_P = -\Lambda_P \int d^4x \, \varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma} \partial_\mu \phi^1 \partial_\nu \phi^2 \partial_\rho \phi^3 \partial_\sigma \phi^4 $。
• 规范固定条件$ \phi^\mu = m x^\mu $对应于单位卷绕数，解释了为何其在't Hooft模型中被选用。
• 通过拓扑方式将约束嵌入作用量，避免了人为的移除程序，从而在经典层面解决了标量场的非幺正性问题。