[论文解读] Gravity as a Higgs Field. I.the Geometric Equivalence Principle

G. Sardanashvily|ArXiv.org|May 6, 1994

Relativity and Gravitational Theory参考文献 6被引用 3

一句话总结

本文提出引力可被理解为一种由标量场自发对称性破缺产生的希格斯场，其中 tetrad 场作为希格斯机制的序参量。通过使用 Klein-Chern 几何重新表述等效原理，表明狄拉克费米子通过在 tetrad 参数空间上的复合旋量丛耦合到引力，从而得到一个包含时空与 tetrad 坐标方向联络的总狄拉克算符。

ABSTRACT

{\it If gravity is a metric field by Einstein, it is a Higgs field.} Gravitation theory meets spontaneous symmetry breaking in accordance with the Equivalence Principle reformulated in the spirit of Klein-Chern geometries of invariants. In gravitation theory, the structure group of the principal linear frame bundle $LX$ over a world manifold $X^4$ is reducible to the connected Lorentz group $SO(3,1)$. The physical underlying reason of this reduction is Dirac fermion matter possessing only exact Lorentz symmetries. The associated Higgs field is a tetrad gravitational field $h$ represented by a global section of the quotient $\Si$ of $LX$ by $SO(3,1)$. The feature of gravity as a Higgs field issues from the fact that, in the presence of different tetrad fields, Dirac fermion fields are described by spinor bundles associated with different reduced Lorentz subbundles of $LX$, and we have nonequivalent representations of cotangent vectors to $X^4$ by Dirac's matrices. It follows that a fermion field must be regarded only in a pair with a certain tetrad field. These pairs fail to be represented by sections of any product bundle $S imes\Si$, but sections of the composite spinor bundle $S o\Si o X^4$. They constitute the so-called fermion-gravitation complex where values of tetrad gravitational fields play the role of coordinate parameters, besides the familiar world coordinates. In Part 1 of the article, geometry of the fermion-gravitation complex is investigated. The goal is the total Dirac operator into which components of a connection on $S o\Si$ along tetrad coordinate directions make contribution. The Part II will be devoted to dynamics of fermion-gravitation complex. It is a constraint system to describe which we use the covariant multisymplectic generalization of the Hamiltonian formalism when canonical momenta correspond to derivatives of fields with respect to all world coordinates, not only the time.

研究动机与目标

• 通过不变量的 Klein-Chern 几何重新表述等效原理，以统一引力与费米子物质。
• 建立一个几何框架，使引力由于规范洛伦兹对称性的自发破缺而作为希格斯场出现。
• 描述狄拉克费米子不通过张量积丛，而是通过在 tetrad 场空间上的复合旋量丛耦合到引力。
• 在多辛形式体系中，为费米子-引力复合系统的约束哈密顿动力学奠定几何基础。
• 表明不同的 tetrad 场通过狄拉克矩阵导致余切向量的非等价表示，从而要求在 tetrad 空间上建立纤维丛结构。

提出的方法

• 将 4D 世界流形 $X^4$ 上的标架丛 $LX$ 的结构群约化为洛伦兹群 $SO(3,1)$，这是基于狄拉克费米子的精确洛伦兹对称性。
• 将 tetrad 引力场 $h$ 识别为商丛 $\Sigma = LX / SO(3,1)$ 的全局截面，在此语境下定义希格斯场。
• 构建费米子-引力复合系统为复合旋量丛 $S \to \Sigma \to X^4$，其中 tetrad 场作为坐标参数。
• 推导出一个总狄拉克算符，其包含时空与 tetrad 坐标方向的联络，统一了时空对称性与内部对称性。
• 应用哈密顿形式体系的协变多辛推广，为所有世界坐标导数分配共轭动量。
• 利用主丛与伴随丛的几何结构，将费米子与引力的相互作用建模为具有希格斯型对称性破缺的规范型结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过 Klein-Chern 几何重新表述等效原理，以统一引力与费米子物质？
• RQ2 tetrad 场在通过自发洛伦兹对称性破缺实现引力作为希格斯场的过程中，其几何作用是什么？
• RQ3 为何费米子-引力系统不能用张量积丛 $S \times \Sigma$ 表示，而应由何种结构替代？
• RQ4 总狄拉克算符如何从时空与 tetrad 参数方向的联络中涌现？
• RQ5 多辛形式体系在描述费米子-引力复合系统作为约束系统动力学中起什么作用？

主要发现

• tetrad 场 $h$ 作为引力的希格斯场，其在 $\Sigma = LX / SO(3,1)$ 中的全局截面编码了完整线性标架对称性向洛伦兹对称性的自发破缺。
• 狄拉克费米子仅通过特定 tetrad 场对与引力耦合，此类对由复合旋量丛 $S \to \Sigma \to X^4$ 的截面描述，而非张量积丛。
• 不同的 tetrad 场通过狄拉克矩阵导致余切向量的非等价表示，从而否定了普遍旋量丛结构的存在。
• 总狄拉克算符被构作为时空与 tetrad 坐标方向联络分量之和，统一了几何与动力学方面。
• 费米子-引力复合系统构成一个约束系统，其动力学由协变多辛哈密顿形式体系控制，其中所有世界坐标导数的共轭动量均被分配。
• 该几何框架为未来引力与费米子的动力学理论提供了自然设定，其中希格斯型机制根植于标架丛结构群的约化。