[论文解读] Gravity-driven coatings on curved substrates: a differential geometry approach

Pier Giuseppe Ledda, Matteo Pezzulla+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2022

Fluid Dynamics and Thin Films参考文献 70被引用 6

一句话总结

本文基于微分几何构建了一种润滑模型，可解析描述在曲面基底上重力驱动的薄液膜排泄与铺展过程，考虑了由曲率引起的膜厚变化。该模型推导了抛物面、椭球面、环面和三轴椭球面的渐近解与自相似解，表明膜厚在平均曲率减小且坡度增大的区域增加，其定量预测与数值模拟和实验结果高度一致。

ABSTRACT

Although the drainage and spreading processes of thin liquid films on substrates have received growing attention during the last decades, the study of three-dimensional cases is limited to a few studies on flat and axisymmetric substrates. In this work, we exploit differential geometry to study the drainage and spreading of thin films on generic curved substrates. We initially investigate the drainage and spreading processes on spheroidal and paraboloidal substrates by employing an asymptotic expansion in the vicinity of the pole and a self-similar approach, finding that the thickness distribution is set by the substrate metric and tangential gravity force components. Spheroids with a large ratio between height and equatorial radius are characterized by a growing thickness moving away from the pole, and vice versa. The non-symmetric coating on a toroidal substrate shows that larger thicknesses and a faster spreading are attained on the inner region than on the outer region of the torus. An ellipsoid with three different axes is chosen as a testing ground for three-dimensional drainage and spreading. Modulations in the drainage solution are observed, with a different variation of the thickness along the two axes. By imposing the conservation of mass, an analytical solution for the average spreading front is obtained. The analytical and numerical results are in good agreement. The resulting drainage solutions show also a good agreement with experimental measurements obtained from the coating of a curing polymer on diverse substrates.

研究动机与目标

• 理解基底几何形状如何影响三维曲面上薄液膜的排泄与铺展行为。
• 利用微分几何将经典润滑理论推广至一般曲面基底，突破传统平面或轴对称假设的限制。
• 推导球面、环面及三轴椭球面上膜厚分布与前缘演化的解析解。
• 通过数值模拟与聚合物涂层在多种基底上的实验数据验证该模型。
• 量化平均曲率与坡度变化在决定膜厚空间调制与铺展速率中的作用。

提出的方法

• 在一般曲线坐标系中基于微分几何构建润滑方程，实现对任意曲面的分析。
• 在局部极大值点（如极点）附近采用渐近展开，推导膜厚关于曲率与径向位置的解析解。
• 通过缩放变量（如 b = C/A²）推导适用于大时间与大径向距离的自相似解。
• 利用质量守恒确定平均铺展前缘位置与膜厚，通过数值方法求解隐式关系。
• 通过数值模拟验证结果，采用海绵边界条件防止波反射，确保前缘追踪的准确性。
• 将解析预测与数值解及聚合物涂层在球面、环面与椭球面上的实验数据进行对比。

实验结果

研究问题

• RQ1 基底的局部曲率（特别是平均曲率与坡度变化）如何影响重力驱动薄液膜的膜厚分布？
• RQ2 在非轴对称曲面（如三轴椭球面）上，可推导出哪些关于膜排泄与铺展的解析解？
• RQ3 在环面结构上，内侧与外侧曲率不同，膜厚与铺展前缘如何演化？
• RQ4 渐近解与自相似近似在不同径向与时间尺度下，对抛物面与球面的膜行为预测精度如何？
• RQ5 该模型能否定量再现复杂基底（如球面与椭球面）上涂层的实验与数值观测结果？

主要发现

• 在抛物面上，由于平均曲率减小且切向重力分量增强，膜厚随距极点的径向距离增加而增厚，其解析解在小 A 时满足 ⌘(A,C) ≈ √(3/2) / √C。
• 当 A 较大时（4A ≫ 1），自相似解 ⌘(A,C) = √(34)/(2A√C) 准确预测远场区域的膜厚增加，与数值模拟结果高度一致。
• 在环面上，内侧区域因更强的曲率诱导排泄而铺展更快、膜厚更高。
• 在三轴椭球面上，由于沿最短主轴方向排泄更快，排水解中出现空间调制，该现象由三维渐近解成功捕捉。
• 通过质量守恒预测平均铺展前缘半径与膜厚，解析近似为 A_F ∝ C^{1/4} 与 ⌘_F ∝ A_0 / A_F，与数值和实验数据吻合。
• 该模型与采用海绵边界条件的数值模拟结果高度一致，尤其在大时间与远场区域表现优异。