[论文解读] Gravity Inside a Nonrotating, Homogeneous, Spherical Body

Homer G. Ellis|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2012

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 5被引用 4

一句话总结

本文通过从变分原理推导出改进的爱因斯坦场方程，正确识别了引力质量密度作为源项，避免了爱因斯坦对被动质量和主动质量的不正当等同，提出了一种非旋转、均匀、球对称物体的新内部度规。该度规与史瓦西外部解平滑匹配，预测了通过该物体的光子和中微子飞行时间的修正，为标准史瓦西内部解提供了一个逻辑一致的替代方案。

ABSTRACT

Schwarzschild's 'interior solution' is a space-time metric that satisfies Einstein's gravitational field equations with a source term that Einstein created on the basis of an unjustified identification of the conceptually distinct notions of the passive gravitational mass of matter and the active gravitational mass of matter. Giving up that assumption allows deriving from a variational principle new and better (because logically obtained) field equations that more faithfully extend the Poisson equation for Newton's gravity than do Einstein's, with an active gravitational mass density providing the source term. Solving these equations for a nonrotating spherical ball of matter with uniform mass density produces a new, improved interior metric matched at the surface of the ball to Schwarzschild's 'exterior' solution metric. This new metric can then be used to address questions about the flight times of photons and neutrinos through such a ball of matter.

研究动机与目标

• 纠正爱因斯坦场方程中的一个基础性错误，即不恰当地将被动引力质量等同于主动引力质量。
• 从变分原理出发，推导出一组在逻辑上一致的场方程，正确地将主动引力质量密度作为源项纳入其中。
• 为非旋转、均匀、球对称物体构建一个新的内部度规，使其在表面处与史瓦西外部解平滑匹配。
• 将新度规应用于计算此类物体内部光子和中微子的飞行时间，尤其与实验中的中微子时间测量密切相关。

提出的方法

• 从变分原理 $\delta\!\int({\bm{R}}-\frac{8\pi\kappa}{c^{2}}\mu+2\,\phi^{.\gamma}\phi_{.\gamma})\,|g|^{\frac{1}{2}}\,d^{4}\!x=0$ 推导新的场方程，引入辅助标量场 $\phi$ 以推广解的形式。
• 求解所得场方程 $ {\bm{R}}_{\alpha\beta}=\frac{4\pi\kappa}{c^{2}}\mu\,g_{\alpha\beta}-2\,\phi_{.\alpha}\phi_{.\beta} $ 和 $ \square\phi=0 $，适用于静态、球对称、均匀的球体。
• 构造新内部度规形式 $ d\tau^{2}=\frac{1-2m/R}{1+\lambda m/R}\left[1+\frac{\lambda m}{R}\frac{r^{2}(\rho)}{R^{2}}\right]\,dt^{2}-\cdots $，以 $ \lambda $ 为参数，其中 $ r(\rho)=\lambda(\rho-\rho_0) $ 且 $ \rho_0=\frac{\lambda-1}{\lambda}R $。
• 通过求解 $ \left(1-\frac{2m}{R}\right)\lambda^{2}-\frac{m}{R}\lambda-1=0 $ 确定 $ \lambda $，使内部度规在 $ r=R $ 处与史瓦西外部解平滑匹配。
• 将度规表示为“以太流”形式，以阐明测地线动力学和径向加速度行为。
• 计算测试粒子的径向测地线方程，并分析径向加速度中的引力与离心力分量，表明引力在边界处连续，但离心力分量不连续。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何修正爱因斯坦场方程，以正确识别主动引力质量密度作为源项，避免对被动质量与主动质量的不正当等同？
• RQ2 对于非旋转、均匀、球对称物体，其与史瓦西外部解平滑匹配的新内部度规是什么？
• RQ3 在新度规下，光子和中微子通过该物体的飞行时间与标准史瓦西内部解相比有何不同？
• RQ4 在新内部度规下，测试粒子的径向加速度行为如何，特别是在中心和边界处？
• RQ5 新度规是否保持引力的连续性，同时在表面处引入离心力的不连续性？

主要发现

• 新内部度规源自一个校正后的变分原理，正确识别了主动引力质量密度 $ \mu $ 作为源项，避免了爱因斯坦对被动质量与主动质量的不正当等同。
• 解得 $ \lambda = \frac{m+\sqrt{m^{2}+4R(R-2m)}}{2(R-2m)} $，该值确定了径向缩放 $ r(\rho)=\lambda(\rho-\rho_0) $，并确保在 $ r=R $ 处与外部史瓦西解平滑匹配。
• 度规表明，在球体中心，引力和离心力的径向加速度均消失，与牛顿预期一致。
• 在边界处，新内部度规与外部度规的引力分量径向加速度连续，但离心力分量不连续，因为 $ R/\lambda \neq R-3m $。
• 新度规使得能够精确计算光子和中微子通过物体的飞行时间，对解释如 OPERA 和 ICARUS 实验的结果具有潜在影响。
• 度规的“以太流”形式揭示了引力场的径向流动，其中径向坐标 $ \rho $ 的增长速度超过测地面积半径 $ r(\rho) $，反映了内部非欧几里得几何的特征。