[论文解读] Grazing dynamics and dependence on initial conditions in certain systems with impacts

Andrzej Okniński, B. Radziszewski|arXiv (Cornell University)|Jun 2, 2007

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 33被引用 11

一句话总结

本文通过庞加莱返回映射分析周期轨道、稳定性及吸引域，研究了一维振动撞击系统中具有运动止挡的滑行动力学及其初值依赖性。结果表明，滑行流形包含捕获区与禁止区，且由于不稳定流形的存在，吸引域边界呈现分形化特征，尤其在高速度和强迫幅值增加时更为显著。

ABSTRACT

Dynamics near the grazing manifold and basins of attraction for a motion of a material point in a gravitational field, colliding with a moving motion-limiting stop, are investigated. The Poincare map, describing evolution from an impact to the next impact, is derived. Periodic points are found and their stability is determined. The grazing manifold is computed and dynamics is approximated in its vicinity. It is shown that on the grazing manifold there are trapping as well as forbidden regions. Finally, basins of attraction are studied.

研究动机与目标

• 理解非光滑撞击系统中运动约束下滑行流形附近的复杂动力学行为。
• 研究系统行为对初值的依赖性，特别是在共存吸引子存在时的情形。
• 分析一维弹跳小球模型中周期轨道与滑行动力学的吸引域结构。
• 探讨滑行流形上临界点的作用及分形吸引域边界的产生机制。
• 通过推导正则化庞加莱映射并分析其在非光滑过渡附近的特性，拓展先前的研究工作。

提出的方法

• 推导撞击之间运动的庞加莱返回映射，将系统建模为重力场中与运动限位器碰撞的质点。
• 采用恢复系数 $ R \in [0,1) $ 模拟非弹性碰撞，并推导碰撞后速度的演化规律。
• 利用级数展开近似求解滑行流形附近下一次撞击时间的隐式方程。
• 对庞加莱映射进行正则化处理，以应对滑行流形上的不可微性，但临界点除外，此时碰撞后加速度为零。
• 在线性化滑行流形附近的动力学，分析稳定性并识别捕获区与禁止区。
• 采用数值模拟可视化并分析不同吸引子的吸引域的分形结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 系统在滑行流形附近的动力学行为如何？其对稳定性与吸引子共存有何影响？
• RQ2 滑行流形上捕获区与禁止区的存在及其结构由什么决定？
• RQ3 周期轨道与滑行动力学的吸引域如何随系统参数 $ \lambda $ 和 $ R $ 的变化而演化？
• RQ4 吸引域边界的分形化由何引起？其与鞍点不动点不稳定流形的关系是什么？
• RQ5 庞加莱映射的正则化如何在非光滑性存在的情况下实现对滑行流形附近区域的分析？

主要发现

• 滑行流形中同时存在捕获区与禁止区，其具体分布由系统动力学与碰撞条件明确决定。
• 庞加莱映射在滑行流形上不可微，但可通过正则化处理，仅在碰撞后加速度为零的临界点除外。
• 当 $ \lambda \geq \lambda_{cr}^{(1)} = \frac{2\pi(1-R)}{1+R} $ 时，出现不稳定不动点 $ P_u^{(1)} $，其稳定流形构成吸引域边界的一部分。
• 随着 $ \lambda $ 继续增大，在 $ \lambda_{cr}^{(2)} = \frac{4\pi(1-R)}{1+R} $ 处出现第二对不动点 $ P_s^{(2)} $ 与 $ P_u^{(2)} $，进一步贡献吸引域边界。
• 在大初速度下观察到吸引域的分形化，其边界被不稳定流形 $ W_s(P_u^{(1)}) $ 与 $ W_s(P_u^{(2)}) $ 分割，与 Whiston 的预测一致。
• 由公式 (39) 或 (40) 给出的下一次撞击时间近似解在滑行流形附近有效，且可推广至更广泛的撞击系统。