[论文解读] Greedy Algorithm for Multiway Matching with Bounded Regret

Varun Gupta|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 2021

Optimization and Search Problems被引用 7

一句话总结

该论文提出了一种贪心算法，用于在一般位置间隙（GPG）条件下实现多路匹配的有界遗憾。当不存在同时包含可排队和不可排队在线资源的配置时，该算法实现 $Ó(1/\epsilon_0)$ 的遗憾；否则，其期望遗憾为 $Ó(\log t)$。该方法通过潜在函数和摊销分析，无需周期性重新求解静态规划线性规划（SPP），即可跟踪最优静态规划解。

ABSTRACT

In this paper we prove the efficacy of a simple greedy algorithm for a finite horizon online resource allocation/matching problem, when the corresponding static planning linear program (SPP) exhibits a non-degeneracy condition called the general position gap (GPG). The key intuition that we formalize is that the solution of the reward maximizing SPP is the same as a feasibility Linear Program restricted to the optimal basic activities, and under GPG this solution can be tracked with bounded regret by a greedy algorithm, i.e., without the commonly used technique of periodically resolving the SPP. The goal of the decision maker is to combine resources (from a finite set of resource types) into configurations (from a finite set of feasible configurations) where each configuration is specified by the number of resources consumed of each type and a reward. The resources are further subdivided into three types - offline (whose quantity is known and available at time 0), online-queueable (which arrive online and can be stored in a buffer), and online-nonqueueable (which arrive online and must be matched on arrival or lost). Under GRG we prove that, (i) our greedy algorithm gets bounded any-time regret of $\mathcal{O}(1/ε_0)$ for matching reward ($ε_0$ is a measure of the GPG) when no configuration contains both an online-queueable and an online-nonqueueable resource, and (ii) $\mathcal{O}(\log t)$ expected any-time regret otherwise (we also prove a matching lower bound). By considering the three types of resources, our matching framework encompasses several well-studied problems such as dynamic multi-sided matching, network revenue management, online stochastic packing, and multiclass queueing systems.

研究动机与目标

• 开发一种无需参数的贪心算法，用于在非退化条件下实现在线多路匹配的有界遗憾。
• 形式化直观理解：当满足一般位置间隙（GPG）条件时，可通过贪心分配跟踪最优SPP解。
• 将多样化问题——动态多边匹配、网络收益管理、在线随机装箱以及多类排队系统——统一于单一三类资源框架（离线、可排队在线、不可排队在线）之下。
• 首次在无需周期性重新优化SPP的情况下，建立一般动态多边匹配的有界遗憾结果。
• 证明仅需了解基本可行活动即可实现有界遗憾，即使缺乏完整的矩阵信息亦可。

提出的方法

• 该算法采用基于静态规划线性规划（SPP）对偶变量导出的贪心匹配规则，优先处理特定配置。
• 利用李雅普诺夫潜在函数跟踪当前状态与最优SPP解之间的距离，从而实现摊销分析。
• 分析依赖于一般位置间隙（GPG）条件，该条件确保最优SPP基唯一且对小扰动具有鲁棒性。
• 对于避免混合使用在线资源类型的配置，算法实现 $\mathcal{O}(1/\epsilon_0)$ 的遗憾，其中 $\epsilon_0$ 衡量GPG的大小。
• 对于混合配置，遗憾为 $\mathcal{O}(\log t)$ 的期望值，通过一种新颖的潜在函数实现，可避免陷入死循环状态。
• 该方法通过维持基于SPP最优基的稳定对偶优先级策略，避免了周期性SPP重新优化。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否一种简单的贪心算法可在无需周期性重新求解静态规划线性规划（SPP）的情况下，实现在线多路匹配的有界遗憾？
• RQ2 在SPP的何种结构条件下，贪心算法可实现有界遗憾地跟踪最优解？
• RQ3 在配置中同时存在可排队和不可排队在线资源时，遗憾与资源类型的本质权衡是什么？
• RQ4 SPP的最优基是否可用于设计一种对资源消耗矩阵具体条目不敏感的优先级策略？
• RQ5 一般位置间隙（GPG）条件是否足以在不涉及混合在线资源类型的情况下保证 $\mathcal{O}(1/\epsilon_0)$ 的遗憾？

主要发现

• 当无配置同时包含可排队和不可排队在线资源时，贪心算法实现 $\mathcal{O}(1/\epsilon_0)$ 的遗憾，其中 $\epsilon_0$ 衡量一般位置间隙的大小。
• 当配置混合使用可排队与不可排队在线资源时，算法产生 $\mathcal{O}(\log t)$ 的期望遗憾，与下界一致。
• 该算法通过基于对偶的贪心策略跟踪最优SPP解，避免了周期性SPP重新优化。
• 一般位置间隙（GPG）确保了最优SPP基的唯一性与稳定性，即使在随机到达条件下也能实现有界遗憾。
• 该方法将动态多边匹配、网络收益管理与随机装箱问题统一于单一框架下，该框架包含三类资源（离线、可排队在线、不可排队在线）。
• 模拟结果表明，所提出的平方和（SS）算法保持了有界的浪费率，优于基准算法Csirik等人（2006）的算法，后者表现出 $\Theta(\log t)$ 的浪费增长。