[论文解读] Greedy and quasi-greedy expansions in non-integer bases

Claudio Baiocchi, Vilmos Komornik|ArXiv.org|Oct 16, 2007

semigroups and automata theory参考文献 5被引用 42

一句话总结

本文通过刻画非整数基下有限与无限数字符号集的贪心与准贪心展开，推广了Rényi、Parry、Daróczy与Kátai的工作。文中提出了构造这些展开的递归算法，证明其字典序最大性，并建立了区间 [0, M/(q−1)] 内实数与满足特定字典序不等式的序列之间的一一对应关系。核心贡献在于通过字典序最大性与数字符号序列的代数条件，统一刻画了展开形式。

ABSTRACT

We generalize several theorems of Rényi, Parry, Daróczy and Kátai by characterizing the greedy and quasi-greedy expansions in non-integer bases.

研究动机与目标

• 将非整数基下贪心与准贪心展开的经典结果推广至任意有限与无限数字符号集。
• 通过递归算法刻画区间 [0, M/(q−1)] 内实数的字典序最大展开。
• 建立实数与满足特定字典序不等式的数字符号序列之间的一一对应关系。
• 阐明贪心与准贪心展开之间的关系，特别是当贪心展开为有限时的情形。
• 将理论推广至 M = ∞ 的极限情形，使 beta-展开 成为其特例。

提出的方法

• 通过递归最大化定义贪心与准贪心展开：在每一位上选择使部分和不超过 x 的最大可能数字。
• 证明当 M ≥ q−1 时，对于 x ∈ (0, M/(q−1)]，准贪心展开是其字典序最大的无限展开。
• 利用数字符号序列后缀的字典序不等式，建立 q ∈ (1, M+1] 与 1 的准贪心展开之间严格递增的一一对应关系。
• 使用递归比较引理，证明任何满足对所有 n 有 a_{n+1}a_{n+2}… ≤ α_1α_2…（当 a_n < M 时）的序列，即为其值的准贪心展开。
• 将贪心展开刻画为满足部分和不等式且字典序最大的序列，并证明其对所有 x ≥ 0 收敛于 x。
• 分析贪心与准贪心展开之间的关系：若贪心展开为有限，准贪心展开可通过将最后一个非零数字减 1 并接上 1 的准贪心展开获得。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地构造任意数字符号集下非整数基的贪心与准贪心展开？
• RQ2 在非整数基 q 下，实数 x 的准贪心展开由哪些代数与字典序条件刻画？
• RQ3 当贪心展开为有限或无限时，贪心与准贪心展开之间有何关系？
• RQ4 1 的准贪心展开在刻画所有 x 的准贪心展开中起何作用？
• RQ5 当 M = ∞ 时（即所有非负整数均可作为数字），结果如何推广？

主要发现

• 当 M ≥ q−1 时，x ∈ (0, M/(q−1)] 的准贪心展开是其字典序最大的无限展开。
• 存在严格递增的一一对应关系，将 q ∈ (1, M+1] 与 1 的准贪心展开对应起来，其特征为：当 α_n < M 时，有 α_{n+1}α_{n+2}… ≤ α_1α_2…。
• 当 M = ∞ 时，x 的贪心展开是满足部分和不等式且字典序最大的序列，且对所有 x ≥ 0 收敛于 x。
• 若 x 的贪心展开为有限，且最后一个非零数字为 b_m，则其准贪心展开为 b_1…b_{m−1}(b_m−1)α_1α_2…，其中 (α_i) 为 1 的准贪心展开。
• 若 1 的贪心展开为有限，且最后一个非零数字为 β_m，则 1 的准贪心展开是周期为 β_1…β_{m−1}(β_m−1) 的周期序列，即 (α_i) = (β_1…β_{m−1}(β_m−1))^∞。
• 在极限情形 M = ∞ 时，贪心展开恰好对应于Rényi引入的 beta-展开，且字典序条件简化为对所有 n 成立的不等式，不再受数字大小约束。