[论文解读] Greedy Bipartite Matching in Random Type Poisson Arrival Model

Allan Borodin, Christodoulos Karavasilis+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Bayesian Methods and Mixture Models被引用 2

一句话总结

本文提出了随机类型泊松到达模型（RTPAM），这是一种用于在线二分图匹配的新随机输入模型，其中在线节点以前置相同类型的连续突发形式到达，突发长度服从泊松(1)分布。作者在该模型下分析了贪心算法，并证明了在所有边密度参数c的区间内，其竞争比至少为0.715，显著优于对抗性设置下的最坏情况边界，同时考虑了现实输入的相关性。

ABSTRACT

We introduce a new random input model for bipartite matching which we call the Random Type Poisson Arrival Model. Just like in the known i.i.d. model (introduced by Feldman et al. 2009), online nodes have types in our model. In contrast to the adversarial types studied in the known i.i.d. model, following the random graphs studied in Mastin and Jaillet 2016, in our model each type graph is generated randomly by including each offline node in the neighborhood of an online node with probability $c/n$ independently. In our model, nodes of the same type appear consecutively in the input and the number of times each type node appears is distributed according to the Poisson distribution with parameter 1. We analyze the performance of the simple greedy algorithm under this input model. The performance is controlled by the parameter $c$ and we are able to exactly characterize the competitive ratio for the regimes $c = o(1)$ and $c = ω(1)$. We also provide a precise bound on the expected size of the matching in the remaining regime of constant $c$. We compare our results to the previous work of Mastin and Jaillet who analyzed the simple greedy algorithm in the $G_{n,n,p}$ model where each online node type occurs exactly once. We essentially show that the approach of Mastin and Jaillet can be extended to work for the Random Type Poisson Arrival Model, although several nontrivial technical challenges need to be overcome. Intuitively, one can view the Random Type Poisson Arrival Model as the $G_{n,n,p}$ model with less randomness; that is, instead of each online node having a new type, each online node has a chance of repeating the previous type.

研究动机与目标

• 建模现实场景中在线输入表现出突发性、相关性到达的情况（例如重复的广告请求或工作类型），超越独立同分布或完全随机的Erdős-Rényi模型。
• 分析在此新模型下简单贪心算法的性能，该模型在先前的随机模型中未出现的连续在线节点之间引入依赖关系。
• 在边密度参数c的三个区间：c = o(1)、c = ω(1) 和 c = Θ(1) 中，建立贪心算法竞争比的紧致界。
• 将RTPAM中贪心算法的性能与Gn,n,p和i.i.d.模型中的已知结果进行比较，特别关注输入相关性对近似保证的影响。
• 在常数c区间内精确刻画期望匹配大小，并推导出对所有c值均成立的竞争比下界。

提出的方法

• 提出随机类型泊松到达模型（RTPAM），其中每个在线节点类型来自随机Erdős-Rényi图G(n,n,c/n)，且每种类型以长度服从泊松(1)分布的连续突发形式出现。
• 分析贪心算法：对每个到达的在线节点，按固定顺序匹配第一个未匹配的离线邻居，不使用类型分布信息。
• 使用渐近分析，在三个区间中刻画期望匹配离线节点的比例：c = o(1)、c = ω(1) 和 c = Θ(1)，利用随机图论和分支过程的技术。
• 通过适配已知的Erdős-Rényi模型G(n,n,c/n)中的上界，推导出RTPAM(n,c)中最大匹配大小的上界。
• 结合贪心算法性能的下界与最优匹配大小的上界，推导出作为c函数的竞争比下界。
• 对c > 0数值最小化所得下界，以确定最坏情况下的竞争比约为0.715。

实验结果

研究问题

• RQ1 当在线节点以相同类型的关联突发形式到达而非独立到达时，在线二分图匹配中贪心算法的性能如何变化？
• RQ2 贪心算法在RTPAM模型中，针对边密度参数c的不同区间，其精确渐近竞争比是多少？
• RQ3 RTPAM中引入类型相关性后，与独立同分布和Erdős-Rényi模型相比，近似比有何影响？
• RQ4 能否从G(n,n,c/n)模型中的已知结果推导出RTPAM中最大匹配大小的上界，且该上界有多紧？
• RQ5 贪心算法在RTPAM模型中对所有c值的最坏情况竞争比是多少，且该比值在何处取得最小值？

主要发现

• 在c = o(1)和c = ω(1)区间内，贪心算法的竞争比恰好为1，意味着其渐近地匹配了所有可能的离线节点。
• 对于常数c区间，本文给出了匹配离线节点期望比例的精确渐近表达式，其依赖于由分支过程近似导出的方程组的解。
• 贪心算法在RTPAM(n,c)中的竞争比对所有c值均有下界0.715，最小值出现在c ≈ 0.667766处。
• 竞争比下界通过结合贪心算法的期望匹配大小与从G(n,n,c/n)模型中适配的最优匹配大小上界推导得出。
• 对于常数c，贪心算法在RTPAM中的性能严格劣于i.i.d.或Gn,n,c/n模型，证实了输入相关性会损害贪心算法性能的直觉。
• 作者猜想当前0.715的下界可能并非紧致，提示若能获得更紧的最优匹配大小上界，或可进一步提升竞争比保证。