[论文解读] Greedy Sums and Dirichlet Series

E. V. Shchepin|arXiv (Cornell University)|Oct 24, 2011

Mathematics and Applications被引用 5

一句话总结

本文引入了任意数值数组的贪心和概念，通过递减的ε-部分和定义收敛性。证明了两个数组的直积的贪心和等于其各自贪心和的乘积，利用广义狄利克雷级数及哈代与里斯的理论，通过狄利克雷级数的乘法定理完成证明。

ABSTRACT

We prove that the greedy sum of a direct product of two numeric arrays of complex numbers is equal to the product of the greedy sums of the factors provided that all the mentioned sums exist.

研究动机与目标

• 为任意索引集上的数值数组定义一种新的求和方法——贪心和，即使在条件收敛级数中也适用。
• 建立两个数组直积的贪心和等于其各自贪心和乘积的条件。
• 将贪心和与广义狄利克雷级数联系起来，并利用哈代与里斯的现有理论证明主要结果。
• 通过基于大小阈值的新型收敛准则，将经典求和结果推广至非绝对收敛级数。

提出的方法

• 将ε-部分和定义为所有满足|a_i| ≥ ε的元素之和，对每个ε > 0该和为有限值。
• 将贪心和定义为当ε → 0时ε-部分和的极限，仅当对任意正阈值仅有有限多项超过时才保证收敛。
• 引入贪心Zeta函数A(z) = ∑ a_i |a_i|^z，将数组与广义狄利克雷级数联系起来。
• 证明数组的狄利克雷级数在z处收敛，当且仅当其贪心和存在。
• 将两个狄利克雷级数的正式乘积定义为指数相加、系数通过卷积组合的新级数。
• 应用哈代与里斯著作中关于广义狄利克雷级数的定理55，证明正式乘积的收敛性蕴含原级数和的乘积。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，两个数组直积的贪心和等于其各自贪心和的乘积？
• RQ2 贪心和与条件收敛级数中的标准和有何不同？
• RQ3 广义狄利克雷级数理论能否用于证明贪心和的乘法性质？
• RQ4 狄利克雷级数的收敛性与数组贪心和的存在性之间有何关系？

主要发现

• 当且仅当其狄利克雷级数在z = 0处收敛时，数组的贪心和存在，建立了直接等价关系。
• 两个数组直积的贪心Zeta函数等于其各自贪心Zeta函数的乘积。
• 主要结果（定理1）成立：若数组及其直积均可贪心求和，则其乘积的贪心和等于各自贪心和的乘积。
• 该证明依赖于将哈代与里斯著作中关于广义狄利克雷级数的定理55应用于特定情形，其中λ_k = -ln|a_k|且μ_k = -ln|b_k|。
• 数组的狄利克雷级数等价于其贪心Zeta函数，从而可应用已知的收敛性定理。
• 两个数组狄利克雷级数的正式乘积恰好对应于其直积数组的狄利克雷级数。