[论文解读] Green's function Zero and Symmetric Mass Generation

Yichen Xu, Cenke Xu|arXiv (Cornell University)|Mar 29, 2021

Topological Materials and Phenomena被引用 4

一句话总结

本文证明，在对称质量生成（SMG）使拓扑超导体和绝缘体的能谱完全闭合后，其非平庸拓扑的残余特征仍以费米子格林函数在零频率处的零点形式存在。通过实空间装饰缺陷构造及将格林函数映射为单粒子路径积分，作者在无需平移对称性的情况下，证明了任意维度下该格林函数零点的存在，即使在存在回避拓扑相变的系统中亦成立。

ABSTRACT

It is known that, under short-range interactions many topological superconductors (TSC) and topological insulators (TI) are trivialized, which means the boundary state of the system can be trivially gapped out by interaction without leading to symmetry breaking or topological ground state degeneracy. This phenomenon is also referred to as "symmetric mass generation" (SMG), and has attracted broad attentions from both the condensed matter and high energy physics communities. However, after the trivialization caused by interaction, some trace of the nontrivial topology of the system still persists. Previous studies have indicated that interacting topological TSC and TI could be related to the "zero" of Green's function, namely the fermion Green's function $G(\mathrm{i} ω ightarrow 0) = 0$. In this work, through the general "decorated defect" construction of symmetry protected topological (SPT) states, we demonstrate the existence of Green's function zero after SMG, by mapping the evaluation of the Green's function to the problem of a single particle path integral. This method can be extended to the cases without spatial translation symmetry, where the momentum space which hosts many quantized topological numbers is no longer meaningful. Using the same method one can demonstrate the existence of the Green's function zero at the "avoided topological transition" in the bulk of the system.

研究动机与目标

• 识别对称质量生成（SMG）后拓扑超导体和绝缘体中非平庸拓扑的残余特征，SMG在不破缺对称性的前提下完全闭合了能谱。
• 确立费米子格林函数在零频率处的零点（G(iω→0)=0）在SMG后依然存在，即使动量空间的拓扑已不再定义。
• 开发一种适用于任意维度且无需空间平移对称性的方法，克服基于动量空间拓扑不变量的局限性。
• 证明格林函数零点不仅在边界上稳定存在，也在存在回避拓扑相变的体相中保持稳定。
• 提供一种实空间、路径积分形式的格林函数表述，以捕捉强关联体系中SMG的拓扑痕迹。

提出的方法

• 作者使用对称保护拓扑（SPT）态的一般性“装饰缺陷”构造方法，在实空间中模拟SMG过程。
• 将费米子格林函数的计算映射为单粒子路径积分，从而在不依赖动量空间或平移不变性的情况下进行计算。
• 将格林函数按小参数Δ展开，通过涉及修正传播器GΔ(λ)的泛函积分计算其主导项。
• 路径积分包含一个权重函数ρ~A(δτ,ϕ)，用于编码缺陷结构并耦合到费米子自由度。
• 通过分析路径积分在大β时的行为，评估虚频率ω=0处的格林函数，显示指数衰减，从而表明在ω=0处存在零点。
• 数值积分确认，Δ展开中的首阶修正在大β时按β^{3/2}衰减，支持傅里叶变换在ω=0处存在零点。

实验结果

研究问题

• RQ1 非平庸拓扑相是否会在对称质量生成（SMG）完全闭合系统能谱后，在格林函数中留下可探测的特征？
• RQ2 在无平移对称性的系统中，格林函数零点是否仍可确立，此时动量空间不变量已无定义？
• RQ3 格林函数零点是否不仅在边界上稳定，也在存在回避拓扑相变的体相中稳定？
• RQ4 SMG机制是否可通过费米子传播器的实空间路径积分表述来理解？
• RQ5 SMG相中格林函数修正的函数形式是什么？其是否导致零频率处的零点？

主要发现

• 对称质量生成后，费米子格林函数在零频率处出现零点（G(iω→0)=0），作为完全闭合能谱相中残余的拓扑不变量。
• 通过无需平移对称性的实空间装饰缺陷构造，该格林函数零点在任意空间维度中被稳健证明。
• 数值计算确认，Δ展开中的首阶修正在大虚时β下按β^{3/2}衰减，暗示傅里叶变换在ω=0处存在零点。
• 路径积分表述成功捕捉了SMG在边界和体相（包括回避拓扑相变）中的拓扑痕迹。
• 该方法超越了动量空间不变量的限制，为检测具有破缺或缺失平移不变性的系统中的SMG提供了框架。
• 由路径积分结构驱动的格林函数在大β时的指数衰减，确保了即使在完全闭合的系统中，ω=0处仍存在零点。