[论文解读] Greenberg's conjecture and units in multiple Z_p-extensions

William G. McCallum|ArXiv.org|Jul 13, 2000

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 4被引用 5

一句话总结

该论文在类群阶为1、Vandiver猜想及单位群条件成立的前提下，证明了对 cyclotomic 域 $\mathbb{Q}(\zeta_p)$ 的 Greenberg 猜想。研究结果表明，当 $p$ 不规则但满足这些约束时，Iwasawa 模 $A$ 是伪零模，其证明基于 Iwasawa 单位定理的推广及类域论，表明由 $p$-单位的 $p$-幂次根生成的 Kummer 扩张的伽罗瓦群作为 $\Lambda$-模是无挠的。

ABSTRACT

In this paper we prove Greenberg's pseudo-null conjecture for the field of p-th roots of unity in the case that p exactly divides the class number and the index of the global units in the local units. We also generalize to the case of multiple Z_p-extensions a theorem of Iwasawa on the Kummer extension of the cyclotomic Z_p-extension generated by p-power roots of units .

研究动机与目标

• 证明 Greenberg 猜想：当 $K = \mathbb{Q}(\zeta_p)$ 满足特定算术条件时，Iwasawa 模 $A$ 是伪零模。
• 证明 Kummer 扩张 $N_\infty/K_\infty$ 的伽罗瓦群 $Y' = \mathrm{Gal}(N_\infty/K_\infty)$ 作为 $\Lambda$-模是无挠的。
• 证明 Greenberg 猜想意味着：若 $p$ 不是正则素数，则 $K$ 的最大 $p$-分歧的 pro-$p$ 扩张没有秩为 $r$ 的自由 pro-$p$ 商。
• 在多个 $\mathbb{Z}_p$-扩张的背景下，推广 Iwasawa 的单位定理。

提出的方法

• 使用 Iwasawa 代数 $\Lambda = \mathbb{Z}_p[[\Gamma]]$，其中 $\Gamma \cong \mathbb{Z}_p^r$，研究 $A$ 作为 $\Lambda$-模的结构。
• 应用推广的 Iwasawa 单位定理，证明在仅有一个素点上方 $p$ 且 $K_\infty$ 包含全部 $p$-幂次单位根的条件下，伽罗瓦群 $Y' = \mathrm{Gal}(N_\infty/K_\infty)$ 作为 $\Lambda$-模是无挠的。
• 利用类域论识别 $A \cong X = \mathrm{Gal}(L_\infty/K_\infty)$，从而使 Greenberg 猜想等价于 $X$ 是伪零模。
• 通过对偶性与上同调技巧，建立 $X$ 为伪零模与 $Y = \mathrm{Gal}(M_\infty/K_\infty)$ 为无挠模之间的等价关系。
• 验证定理1的条件（类群 $A(K) \cong \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$，$(U/E)[p^\infty] \cong \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$）蕴含定理26的假设，包括 $H^2(G, \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}) \cong \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ 与 $\mathrm{Kab} \subset N_\infty$。
• 利用反射原理与已知的分圆单位结果，证明 $K$ 的 Hilbert 类域 $H$ 包含于 $K_\infty$，从而实现理想类的俘获，进而推出 $\alpha^{1/p} \in N_\infty$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，对于 $K = \mathbb{Q}(\zeta_p)$，Greenberg 猜想（即 $A$ 为伪零模）成立？
• RQ2 何时由 $p$-单位的 $p$-幂次根生成的 Kummer 扩张的伽罗瓦群作为 $\Lambda$-模是无挠的？
• RQ3 Greenberg 猜想如何限制 $K$ 的最大 $p$-分歧的 pro-$p$ 扩张中自由 pro-$p$ 商的存在性？
• RQ4 在 $K$ 的 $p$-进完备化中，$A$ 的结构与单位群 $U/E$ 之间有何关系？
• RQ5 Iwasawa 的单位定理能否推广至多个 $\mathbb{Z}_p$-扩张的情形？

主要发现

• 当 $A(K) \cong \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ 且 $(U/E)[p^\infty] \cong \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ 时，Greenberg 猜想对 $K = \mathbb{Q}(\zeta_p)$ 成立，此条件对素数 37、59、67、101、103、131 和 149 成立。
• 当 $K_\infty$ 包含所有 $p^n$-次单位根且仅有一个素点位于 $p$ 上方时，由 $p$-单位的 $p$-幂次根生成的 Kummer 扩张的伽罗瓦群 $Y' = \mathrm{Gal}(N_\infty/K_\infty)$ 作为 $\Lambda$-模是无挠的。
• 在 $K_\infty$ 上的最大阿贝尔 $p$-分歧的 pro-$p$ 扩张 $M_\infty$ 的伽罗瓦群 $Y$ 作为 $\Lambda$-模是无挠的，这蕴含 $A$ 是伪零模。
• 若 $K = \mathbb{Q}(\zeta_p)$ 满足 Greenberg 猜想，则其最大 $p$-分歧的 pro-$p$ 扩张 $G = \mathrm{Gal}(\Omega/K)$ 存在秩为 $g - s$ 的自由 pro-$p$ 商当且仅当 $p$ 是正则素数。
• 在 $K$ 的 Hilbert 类域 $H$ 包含于 $K_\infty$，因此类群的生成元被俘获，这表明对某个合适的 $p$-单位 $\alpha$，有 $\alpha^{1/p} \in N_\infty$。
• 定理1的条件等价于 $p$ 满足 Vandiver 猜想，并且恰好整除 $B_2, B_4, \dots, B_{p-1}$ 中的一个，且单位的 $p$-进对数满足额外同余条件。