[论文解读] Grid Generation and Adaptation by Functionals

Sanjay Kumar Khattri|ArXiv.org|Jul 17, 2006

Computer Graphics and Visualization Techniques参考文献 12被引用 13

一句话总结

本文提出了一种基于网格泛函的变分框架，用于生成高质量的结构化四边形网格，重点通过面积泛函实现自适应网格化。结果表明，与Winslow、Liao和Knupp泛函相比，面积泛函能生成更优、更鲁棒且拓扑保持的自适应网格，尤其在解析解梯度区域表现更佳，同时保持了网格的有效性与平滑性。

ABSTRACT

Accuracy of a simulation is strongly depend on the grid quality. Here, quality means orthogonality at the boundaries and quasi-orthogonality within the critical regions, smoothness, bounded aspect ratios, solution adaptive behaviour, etc. We review various functionals for generating high quality structured quadrilateral meshes in two dimensional domains. Analysis of Winslow and Modified Liao functionals are presented. Numerical examples are also presented to support our theoretical analysis. We will demonstrate the use of the Area functional for generating adaptive quadrilateral meshes.

研究动机与目标

• 开发并分析用于在二维区域生成高质量结构化四边形网格的变分泛函。
• 研究Winslow和改进型Liao泛函在消除网格中折叠或倒置单元方面的有效性。
• 评估面积泛函在生成解自适应网格方面的能力，使网格节点在解梯度较大的区域集中。
• 从网格质量、平滑性和鲁棒性角度，将面积泛函与其他泛函（长度、Knupp、Liao）进行比较。
• 证明通过面积泛函实现的网格自适应能够保持网格拓扑结构，避免单元纠缠，从而支持高效结构化求解器的使用。

提出的方法

• 在参数域上构建连续与离散形式的网格泛函作为积分泛函，目标是最小化网格畸变的度量。
• 应用欧拉-拉格朗日方程推导网格优化的控制偏微分方程，确保极值解对应于期望的网格特性。
• 利用雅可比行列式与度量张量（g-张量）量化局部网格质量，包括正交性、纵横比和单元形状。
• 以面积泛函作为主要自适应机制，其中自适应函数 s(x,y) 控制基于解梯度指示器的节点聚集。
• 通过每节点的局部最小化避免全局优化的复杂性，保持计算效率。
• 通过全有理插值生成初始网格，并应用泛函最小化以提升网格质量和自适应性。

实验结果

研究问题

• RQ1 Winslow与改进型Liao泛函在消除结构化四边形网格中折叠或倒置单元方面表现如何比较？
• RQ2 面积泛函能否有效生成解自适应网格，使网格节点在解梯度较大的区域集中？
• RQ3 面积泛函生成的网格质量（如正交性、平滑性、纵横比）相较于长度、Knupp和Liao泛函如何？
• RQ4 通过面积泛函实现的网格自适应在多大程度上保持了网格拓扑结构，避免了单元纠缠或倒置？
• RQ5 不同自适应函数 s(x,y) 对最终网格分布与质量有何影响？

主要发现

• Winslow与改进型Liao泛函成功消除了折叠的网格线并提升了网格质量，与理论预期一致。
• 面积泛函在所测试泛函中生成了质量最高的网格，具有更优的平滑性、正交性以及最小的纵横比畸变。
• 由面积泛函生成的自适应网格即使在强梯度指示下仍保持凸性与拓扑结构，未观察到倒置单元。
• 面积泛函在网格质量方面优于长度与Knupp泛函，生成的单元形状更均匀、分布更合理。
• 改进型Liao泛函相比标准Liao泛函减少了倒置单元数量，但面积泛函仍显著提供了更优的整体网格质量。
• 数值实验确认，面积泛函能够实现鲁棒的解自适应网格化，精确地在高梯度区域实现节点聚集，其中 s(x,y) = 5.0 + 200.0|sin(2πx)sin(2πy)|。