[论文解读] Groebner bases over fields with valuations

Andrew J. Chan, Diane Maclagan|arXiv (Cornell University)|Mar 4, 2013

Polynomial and algebraic computation参考文献 5被引用 6

一句话总结

本文通过修改 Buchberger 算法以纳入系数的赋值，将 Gröbner 基理论扩展到具有赋值的域（如 p 进有理数）上的多项式环。它引入了一种考虑赋值的规范形，使用改进的 Mora 切线锥算法，并证明 p 进 Gröbner 基可显著小于标准基，关键结果表明存在一类理想，其 p 进基大小保持恒定，而标准基则无界增长。

ABSTRACT

Let K be a field with a valuation and let S be the polynomial ring S:= K[x_1,..., x_n]. We discuss the extension of Groebner theory to ideals in S, taking the valuations of coefficients into account, and describe the Buchberger algorithm in this context. In addition we discuss some implementation and complexity issues. The main motivation comes from tropical geometry, as tropical varieties can be defined using these Groebner bases, but we also give examples showing that the resulting Groebner bases can be substantially smaller than traditional Groebner bases. In the case K = Q with the p-adic valuation the algorithms have been implemented in a Macaulay 2 package.

研究动机与目标

• 将 Gröbner 基理论扩展至具有赋值的域（如带有 p 进赋值的 Q）上的多项式环。
• 通过引入适当的 écart 函数，改进 Mora 切线锥算法，以解决赋值域中标准规范形算法失效的问题。
• 证明赋值域上的 Gröbner 基可显著小于传统 Gröbner 基，尤其在 p 进情形下。
• 通过启用非平凡赋值（如 p 进赋值）为热带几何提供计算框架。
• 通过计算手段证明，理想之热带簇仅依赖于系数域，而不依赖于赋值。

提出的方法

• 通过使用考虑赋值的 écart 函数，修改规范形计算，将 Buchberger 算法适配以处理系数的赋值。
• 用 Mora 切线锥算法的一种变体替代标准规范形算法，以确保在赋值域设定下的终止性。
• 使用权向量 w 定义关于初始理想的定义，通过项的最小赋值实现，系数模赋值环的最大理想约化。
• 利用赋值环的剩余域定义初始形式，从而在域上的多项式环中构造初始理想。
• 使用 Stanley 分解和 Hilbert 函数论证，对标准初始理想的生成元数量进行有界。
• 通过在射影空间中的开集和变量个数的归纳法，证明可在超曲面外指定坐标赋值。

实验结果

研究问题

• RQ1 Gröbner 基算法能否扩展至具有赋值的域（如带有 p 进赋值的 Q）上的多项式环，其中标准算法无法终止？
• RQ2 赋值域上的 Gröbner 基大小与标准域上的相比如何，尤其在 p 进情形下？
• RQ3 理想之热带簇与系数域的关系是什么？能否通过计算手段证明？
• RQ4 在存在赋值的情况下，能否有效计算相对于权向量的初始理想？它继承了哪些性质？
• RQ5 能否构造出 p 进 Gröbner 基保持较小而标准 Gröbner 基无界增长的理想？

主要发现

• 本文在 Q[x₁,x₂,x₃] 中构造了一类理想，其由两个次数为 d=2e 的齐次生成元生成，其中 2-进 Gröbner 基大小恒定，而最小标准 Gröbner 基随 d 无界增长。
• 对于任意项序，此类理想的标准初始理想至少有 1/2(d+3) 个生成元，表明存在超线性下界。
• 2-进初始理想为 ⟨x₁^d, x₂^e x₃^e⟩，且在 2-进赋值下，对于零权向量，这是一个 Gröbner 基。
• 理想 I 的 Hilbert 函数在 d ≤ t < 2d 时为 2(t−d+2 选 2)，该表达式用于推导标准初始理想生成元数量的下界。
• 通过计算证明，理想之热带簇仅依赖于生成元系数所生成的域，而不依赖于赋值。
• 作者在 Macaulay2 中实现了其算法，相关包名为 GrobnerValuations，初步版本已集成于 gfan。