[论文解读] Groebner-Shirshov bases for free inverse semigroups

L. A. Bokut, Yuqun Chen+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 7, 2008

semigroups and automata theory参考文献 29被引用 3

一句话总结

本文利用 deg-lex 单项式序，基于 Poliakova 和 Schein 在 2005 年提出的规范幂等元构造，为自由反演半群建立了 Gröbner-Shirshov 基。该方法为每个元素提供了唯一且最短的规范形式，并提供了一种构造性算法，可将任意字约化为该规范形式，从而在自由反演半群中确保字约化的唯一性与高效性。

ABSTRACT

A new construction of a free inverse semigroup was obtained by Poliakova and Schein in 2005. Based on their result, we find a Groebner-Shirshov basis of a free inverse semigroup relative to the deg-lex order of words. In particular, we give the (unique and shortest) Groebner-Shirshov normal forms in the classes of equivalent words of a free inverse semigroup together with the Groebner-Shirshov algorithm to transform any word to its normal form.

研究动机与目标

• 通过 Gröbner-Shirshov 基为自由反演半群中的元素开发一种构造性规范形式。
• 通过识别唯一且最短的规范形式，解决字表示中非唯一性的问题。
• 提供一种算法方法，利用 Gröbner-Shirshov 基将任意字变换为其唯一规范形式。
• 通过利用 Poliakova 和 Schein 框架中的规范幂等元，将 Gröbner-Shirshov 理论的应用范围扩展至反演半群。

提出的方法

• 在由 X ∪ X⁻¹ 生成的自由幺半群上使用 deg-lex 单项式序，以定义首项与复合运算。
• 从由 Poliakova 和 Schein 的构造导出的规范幂等元所涉及的定义关系中，构造 Gröbner-Shirshov 基 S。
• 应用组合-钻石引理，证明所有复合运算（包含与交集）模 S 均为平凡，从而确保 S 是一个 Gröbner-Shirshov 基。
• 将不可约字的集合 Irr(S) 定义为规范形式，其特征为不包含形如 aā⁻¹ 的子字，且规范幂等元按正确顺序排列。
• 通过要求幂等因子的首字母与末字母不与相邻字部匹配，确保唯一性。
• 实现 Gröbner-Shirshov 算法，通过使用基 S 的连续约化，将任意字约化为唯一规范形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过 Gröbner-Shirshov 基系统地推导出自由反演半群中元素的唯一且最短的规范形式？
• RQ2 deg-lex 序如何用于为自由反演半群构造 Gröbner-Shirshov 基？
• RQ3 规范幂等元在确保反演半群中规范形式唯一性方面起什么作用？
• RQ4 所有复合运算（包含与交集）是否在所构造的基模下均为平凡，从而确认其为 Gröbner-Shirshov 基？
• RQ5 Gröbner-Shirshov 算法能否有效用于将任意字约化为自由反演半群中其唯一规范形式？

主要发现

• 不可约字的集合 Irr(S) 为自由反演半群 FI(X) 中每个元素提供了唯一且最短的规范形式。
• 规范形式的特征为：不包含形如 yy⁻¹（其中 y ∈ X ∪ X⁻¹）的子字，且规范幂等元按正确顺序排列。
• 基 S 中的所有包含与交集复合运算模 S 均为平凡，从而确认 S 是一个 Gröbner-Shirshov 基。
• Gröbner-Shirshov 算法提供了一种系统且高效的方法，可将任意字约化为唯一规范形式。
• 规范形式是 Poliakova 和 Schein 定义的规范字的一个子集，但每个元素的规范形式是唯一确定的，而一般规范字则不然。
• 该构造确保 Irr(S) 中的不同字在 FI(X) 中代表不同的元素，从而保证了规范形式映射的单射性。