[论文解读] Gromov, Cauchy and causal boundaries for Riemannian, Finslerian and Lorentzian manifolds

José Luis Flores, Jónatan Herrera+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 4, 2010

Advanced Differential Geometry Research被引用 8

一句话总结

本文通过与有界速度曲线相关的Busemann型函数，为黎曼流形和Finsler流形引入了一种新的Busemann紧化$M_B$，建立了柯西边界$\partial_C M$、格罗莫夫边界$\partial_G M$与标准共形静态时空的因果边界$\partial V$之间的自然联系。主要贡献在于对这类时空的因果边界$\partial V$进行了完整刻画，表明其源于两个Busemann边界$\partial_B^+M$与$\partial_B^-M$的并集，并在适当的拓扑条件下呈现出双锥结构。

ABSTRACT

Recently, the old notion of causal boundary for a spacetime V has been redefined in a consistent way. The computation of this boundary $\partial V$ for a standard conformally stationary spacetime V = R x M, suggests a natural compactification $M_B$ associated to any Riemannian metric on M or, more generally, to any Finslerian one. The corresponding boundary $\partial_B M$ is constructed in terms of Busemann-type functions. Roughly, $\partial_B M$ represents the set of all the directions in M including both, asymptotic and "finite" (or "incomplete") directions. This Busemann boundary $\partial_B M$ is related to two classical boundaries: the Cauchy boundary and the Gromov boundary. Our aims are: (1) to study the subtleties of both, the Cauchy boundary for any generalized (possibly non-symmetric) distance and the Gromov compactification for any (possibly incomplete) Finsler manifold, (2) to introduce the new Busemann compactification $M_B$, relating it with the previous two completions, and (3) to give a full description of the causal boundary $\partial V$ of any standard conformally stationary spacetime.

研究动机与目标

• 系统研究广义（可能非对称）距离空间与不完备Finsler流形的柯西边界、格罗莫夫边界与Busemann边界的性质。
• 定义并分析Riemannian与Finsler流形的新Busemann紧化$M_B$，利用源自有界速度曲线的Busemann型函数。
• 建立Busemann边界与经典柯西边界、格罗莫夫边界的精确关系，证明$\partial_C M \subset \partial_B M \subset \partial_G M$，且$\partial_B M$的拓扑比两者更粗糙。
• 通过空间基流形$M$的Busemann紧化，完全描述标准共形静态时空$V = \mathbb{R} \times M$的因果边界$\partial V$。
• 澄清因果边界$\partial V$的拓扑与因果结构，尤其在柯西完备性局部紧且Busemann完备性为豪斯多夫的条件下。

提出的方法

• 将Busemann边界$\partial_B M$定义为$M$中具有有界速度的曲线所关联的Busemann函数的等价类集合，其中两条曲线等价当且仅当其Busemann函数之差为常数。
• 在$M_B^+$与$M_B^-$上引入时间序列拓扑，该拓扑比格罗莫夫拓扑更粗糙，且在紧化上自然诱导因果结构。
• 使用广义拟距离$d_Q^+$关联向前与向后柯西完备化$M_C^+$与$M_C^-$，从而实现c-边界的一致构造。
• 将标准静态时空$V = \mathbb{R} \times M$的因果边界$\partial V$构造为以$i^+$与$i^-$为顶点、分别以$\partial_B^+M$与$\partial_B^-M$为底面的两个锥的并集。
• 建立包含关系$\partial_C^+M \subset \partial_B^+M \subset \partial_G^+M$，并分析$\partial_B^+M$的拓扑性质，包括其紧致性及豪斯多夫性的条件。
• 将结果应用于静态情形，此时$M$上的Finsler度量退化为黎曼度量，证明当$M_C$局部紧且$M_B$豪斯多夫时，因果边界具有对称的双锥结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为任意黎曼或Finsler流形（即使度量不完备或非可逆）一致定义Busemann紧化$M_B$？
• RQ2 柯西边界$\partial_C M$、格罗莫夫边界$\partial_G M$与新引入的Busemann边界$\partial_B M$之间的确切关系为何？
• RQ3 标准共形静态时空$V = \mathbb{R} \times M$的因果边界$\partial V$如何由基流形$M$的Busemann紧化所导出？
• RQ4 在何种拓扑条件下，因果边界$\partial V$在点集与拓扑上均继承双锥结构？
• RQ5 时间序列拓扑在$M_B^+$与$M_B^-$上的作用是什么？其与格罗莫夫拓扑和柯西拓扑相比有何异同？

主要发现

• Busemann边界$\partial_B M$被构造为$M$中具有有界速度的曲线所关联的Busemann函数的等价类集合，构成一个自然紧化，其位于柯西边界与格罗莫夫边界之间。
• 点集上成立包含关系$\partial_C M \subset \partial_B M \subset \partial_G M$，且$\partial_B M$的拓扑严格比柯西拓扑与格罗莫夫拓扑更粗糙。
• 对于标准共形静态时空$V = \mathbb{R} \times M$，因果边界$\partial V$被完全描述为以$i^+$与$i^-$为顶点、分别以$\partial_B^+M$与$\partial_B^-M$为底面的两个锥的并集。
• 因果边界$\partial V$的因果结构由$\partial_C^+M$与$\partial_C^-M$中点对的$S$-关系决定，若点属于$\partial_C^s M$则生成类时或光锥（共形）线。
• 当且仅当$M_C$局部紧且$M_B$豪斯多夫时，$\partial V$的双锥结构在拓扑上被实现，确保边界在点集与拓扑上均保持简洁。
• 在静态情形下，$M$上的Finsler度量退化为黎曼度量，此时Busemann边界$\partial_B^+M$与$\partial_B^-M$重合，因果边界$\partial V$在时间反演下具有对称性。