[论文解读] Gromov compactness theorem for stable curves

S. Ivashkovich, Vsevolod Shevchishin|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 1999

Geometry and complex manifolds参考文献 7被引用 6

一句话总结

本文建立了适用于任意拓扑类型的伪全纯曲线的广义Gromov紧致性定理，允许非闭曲线、变化的几乎复结构以及在全实子流形上的边界条件。通过使用长圆柱面上伪全纯映射的先验估计，证明了曲线的Hausdorff收敛性并控制了爆破现象，通过模空间上节点曲线的自然复结构，将紧致性推广至具有节点结构和边界分量的稳定曲线。

ABSTRACT

We give a proof of the Gromov compactness theorem using the language of stable curves (i.e. cusp-curve of Gromov, or stable maps of Kontsevich and Manin) in general setting: An almost complex structure on a target manifold is only continuous and can vary; the curves are only assumed to have fixed ``topological type'', in particular they can be non-closed and the complex structures on them can vary arbitrarily. In connection with this, we study in §2 moduli spaces of nodal curves with boundary and define a natural complex structure for such moduli spaces. We obtain an apriori estimate for pseudoholomorphic maps of ``long cylinders'' (see §3), which gives a uniform description for degeneration of complex structure on the curves and for the ``bubbling'' phenomenon. It also implies the Hausdorff convergence of the curves. We also prove in §5 the compactness theorem for curves with boundary on totally real submanifolds. For this ``boundary'' case we give appropriate generalizations of all ``inner'' constructions and estimates.

研究动机与目标

• 将Gromov紧致性定理推广至具有任意拓扑类型的伪全纯曲线，包括非闭曲线和变化的复结构。
• 为具有边界的节点曲线的模空间构建框架，并在其上定义自然复结构。
• 建立长圆柱面上伪全纯映射的统一估计，以控制复结构的退化和爆破现象。
• 通过将内部构造和估计推广至边界情形，证明在全实子流形上具有边界的曲线的紧致性。
• 在几乎复结构的正则性假设最小的前提下，提供曲线退化和爆破的统一描述。

提出的方法

• 利用长圆柱面上伪全纯映射的先验估计，控制曲线序列的行为。
• 在具有边界的节点曲线的模空间上构造自然复结构，以支持几何分析。
• 应用Gromov意义下的稳定曲线（尖点曲线）理论以及Kontsevich–Manin的稳定映射理论，以处理退化情形。
• 将内部估计和几何技术适配至在全实子流形上具有边界的曲线情形。
• 将目标流形上几乎复结构的连续性作为关键假设，无需其光滑性。
• 通过结合圆柱估计与对爆破和复结构退化的控制，证明曲线的Hausdorff收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将Gromov紧致性定理推广至具有任意拓扑类型和变化复结构的曲线？
• RQ2 具有边界的节点曲线模空间上的自然复结构是什么？它如何支持几何分析？
• RQ3 对长圆柱面上伪全纯映射的统一估计是否能同时控制复结构的退化和爆破现象？
• RQ4 在闭情形下使用的内部构造和估计，如何推广至在全实子流形上具有边界的曲线？
• RQ5 在几乎复结构正则性最低的条件下，哪些条件能保证伪全纯曲线序列的Hausdorff收敛性？

主要发现

• 本文建立了具有固定拓扑类型的伪全纯曲线的Gromov紧致性定理，即使曲线为非闭且复结构任意变化亦成立。
• 长圆柱面上伪全纯映射的先验估计，提供了复结构退化和爆破现象的统一描述。
• Hausdorff收敛性作为圆柱估计与退化控制的推论得以证明。
• 在具有边界的节点曲线模空间上定义了自然复结构，从而支持对边界受限的伪全纯映射的几何处理。
• 通过适当地推广内部构造和估计，将紧致性定理扩展至在全实子流形上具有边界的曲线。
• 目标流形上的几乎复结构仅假设为连续，显著扩大了紧致性结果的适用范围。