[论文解读] Gromov-Hausdorff ultrametric

Ihor Zarichnyi|ArXiv.org|Nov 17, 2005

advanced mathematical theories参考文献 3被引用 7

一句话总结

本文引入了一种Gromov-Hausdorff型度量，记为$ρ_{GHu}$，用于紧致超度量空间，证明其满足强三角不等式，因此在这些空间的等距同构类空间上构成一个超度量。关键结果表明，当距离取值于一个固定的可数集$K \subset \mathbb{R}_+$且0为非孤立点时，超度量空间的该空间与无理数空间同胚。

ABSTRACT

We show that there exists a natural counterpart of the Gromov-Hausdorff metric in the class of ultrametric spaces. It is proved, in particular, that the space of all ultrametric spaces whose metric take values in a fixed countable set is homeomorphic to the space of irrationals.

研究动机与目标

• 为超度量空间类中Gromov-Hausdorff度量的自然对应物下定义。
• 证明所提出的度量$\varrho_{GHu}$满足强三角不等式，从而在紧致超度量空间的等距同构类上定义一个超度量。
• 研究距离取值于固定可数集$K \subset \mathbb{R}_+$且包含0的超度量空间的拓扑结构。
• 在$K$中0为非孤立点的条件下，确定$U(K)$的同胚类型。

提出的方法

• 将$\varrho_{GHu}(X,Y)$定义为紧致超度量空间$X$和$Y$在某个共同超度量空间$Z$中等距嵌入的Hausdorff距离的下确界。
• 证明超度量空间紧致子集上的Hausdorff度量本身是超度量，利用强三角不等式。
• 通过公式$d(x_1,x_2) = \inf_{a \in A} \max\{d_1(x_1,a), d_2(a,x_2)\}$构造两个在交集上一致的超度量空间的并集上的度量，并验证其满足超度量条件。
• 证明$U(K)$，即距离取值于固定可数集$K \subset \mathbb{R}_+$且包含0的超度量空间的集合，是紧致超度量空间全集$U$的闭子空间。
• 通过构造有限$\varepsilon$-网及在小距离处添加新点的扰动，证明$U(K)$是可分的且处处非局部紧致。
• 应用描述集合论中的一个结果，得出当0是$K$的非孤立点时，$U(K)$与无理数空间同胚。

实验结果

研究问题

• RQ1 在超度量空间类中，是否存在Gromov-Hausdorff度量的自然类比？
• RQ2 所提出的度量$\varrho_{GHu}$是否在紧致超度量空间的等距同构类空间上构成一个超度量？
• RQ3 距离取值于固定可数集$K \subset \mathbb{R}_+$且包含0的超度量空间$U(K)$的拓扑结构如何？
• RQ4 当$K$中0为非孤立点时，$U(K)$是否与无理数空间同胚？
• RQ5 Gromov-Hausdorff框架能否扩展到其他度量空间类，如一致不连通空间或实树？

主要发现

• 函数$\varrho_{GHu}$定义良好且满足强三角不等式，因此在紧致超度量空间的等距同构类空间上构成一个超度量。
• 对于任意两个不同的两点超度量空间，其距离$c_1 \neq c_2$位于$[1/2,1]$内，有$\varrho_{GHu}(X_{c_1}, X_{c_2}) \geq 1/4$，表明非等距空间之间存在正的下确界。
• 距离取值于可数集$K \subset \mathbb{R}_+$且包含0的超度量空间$U(K)$是紧致超度量空间全集$U$的闭子空间。
• $U(K)$是可分的，因为距离取值于$K$的有限超度量空间子集在$U(K)$中稠密。
• $U(K)$处处非局部紧致，通过在$U(K)$中任意给定空间的小邻域内构造一个无限离散集得以证明。
• 当$K$中0为非孤立点时，$U(K)$与无理数空间同胚，该结论通过拓扑性质及描述集合论中的一个结果确立。