[论文解读] Gromov-Hyperbolicity of the ray graph and quasimorphisms on a big mapping class group

Juliette Bavard|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2018

Geometric and Algebraic Topology参考文献 7被引用 3

一句话总结

本文证明了平面去掉康托集后的射线图是格罗莫夫双曲的且具有无限直径，从而使得在大映射类群 Γ 上构造非平凡的拟同态成为可能。利用该群在双曲空间上的作用，作者证明了 Γ 的二阶有界上同调是无限维的，并构造出一个稳定交换子长度为零的双曲元素，完成了丹尼·卡莱加里提出的一个程序。

ABSTRACT

These notes are the English version of the paper "Hyperbolicité du graphe des rayons et quasi-morphismes sur un gros groupe modulaire". The mapping class group Gamma of the complement of a Cantor set in the plane arises naturally in dynamics. We show that the ray graph, which is the analog of the complex of curves for this surface of infinite type, has infinite diameter and is hyperbolic. We use the action of Gamma on this graph to find an explicit non trivial quasimorphism on Gamma and to show that this group has infinite dimensional second bounded cohomology. Finally we give an example of a hyperbolic element of Gamma with vanishing stable commutator length. This carries out a program proposed by Danny Calegari.

研究动机与目标

• 研究平面去掉康托集的大映射类群 Γ，该群在动力系统中自然出现，源于具有有界轨道的平面群作用。
• 通过分析其在射线图上的作用，理解 Γ 的大尺度几何，射线图是无限类型曲面的曲线复形的双曲类比。
• 在 Γ 上构造非平凡的拟同态，并证明其二阶有界上同调是无限维的。
• 寻找 Γ 中一个稳定交换子长度为零的双曲元素，回应卡莱加里提出的问题。

提出的方法

• 将射线图定义为单纯复形，其顶点为从康托集点到无穷远的射线的同伦类，若两射线不相交则连边。
• 通过构造一列射线，其距离无界增长，证明射线图具有无限直径。
• 利用射线序列的几何与归纳论证，建立射线图的格罗莫夫双曲性。
• 构造 Γ 中一个双曲元素 g，其在一条测地线射线上作用为平移，通过交替顺时针与逆时针转向的归纳射线构造实现。
• 利用 Γ 在双曲射线图上的作用，通过测地轴上的平移长度定义非平凡拟同态。
• 利用非平凡拟同态的存在性，证明 Γ 的二阶有界上同调是无限维的。

实验结果

研究问题

• RQ1 平面去掉康托集的射线图是否在格罗莫夫意义下是双曲的？
• RQ2 射线图是否具有无限直径，表明大映射类群的大尺度几何是非平凡的？
• RQ3 大映射类群在射线图上的作用是否可用于构造非平凡的拟同态？
• RQ4 群 Γ 是否存在一个稳定交换子长度为零的双曲元素？
• RQ5 Γ 的二阶有界上同调群的维数是多少？

主要发现

• 射线图具有无限直径，表明大映射类群的大尺度几何是非平凡且复杂的。
• 射线图是格罗莫夫双曲的，为大映射类群提供了一个非平凡作用的双曲空间。
• 存在一个非平凡的拟同态在大映射类群 Γ 上，通过射线图中测地轴上的平移长度构造而成。
• Γ 的二阶有界上同调群是无限维的，这由存在无穷多个线性无关的拟同态所证明。
• 存在一个双曲元素 h ∈ Γ，其稳定交换子长度为零，回答了卡莱加里提出的问题。
• 群 Γ 在射线图上作用为双曲作用，特定元素 g 在测地线序列 (γ_k) 上作用为平移，对所有 n ∈ ℕ 满足 g^n(γ_0) = γ_{2n}。